Estatísticas completas suficientes

Recentemente, comecei a estudar inferência estatística. Eu tenho trabalhado com vários problemas e este me deixou completamente perplexo.

Seja $X_1,\dots,X_n$ uma amostra aleatória de uma distribuição discreta que atribua com probabilidade $\frac{1}{3}$ os valores $\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$ , onde $\theta$ é um número inteiro. Mostre que não existe uma estatística suficiente completa.

Alguma ideia?

— Tony
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O que você tem até agora?

— gung - Restabelece Monica

Eu posso escrever a probabilidade como:

(\frac{1}{3})^{n}

$(\frac{1}{3})^n$ vezes o produto das funções indicadoras que cada observação é igual à diferença entre

θ - 1, θ, or θ + 1

$\theta-1,\space\theta,\space\text{or}\space\theta+1$ . A partir disso, parece que a estatística suficiente é a estatística da ordem. Eu tenho pensado nisso por dias, é como nada que eu já vi antes.

— Tony

O que você sabe sobre integridade?

— Glen_b -Reinstar Monica

Uma estatística

é completa se ela satisfizer a condição de que, para alguma função

, se

, então

T

$T$

g (T)

$g(T)$

E [g (T)] = 0

$E[g(T)]=0$

g (T) = 0

$g(T)=0$

a . e .

$a.e.$

— Tony

Então, você precisa encontrar um contra-exemplo ... que estatística claramente auxiliar você encontra na amostra mínima e máxima?

— Scortchi - Restabelecer Monica

(1) Mostre que para um tamanho de amostra , , onde é o mínimo da amostra e o máximo da amostra, é mínimo o suficiente. $n$ $T=\left(X_{(1)}, X_{(n)}\right)$ $X_{(1)}$ $X_{(n)}$

(2) Encontre a distribuição amostral do intervalo e, portanto, sua expectativa . Será uma função apenas de , não de (o que é importante, e que talvez você possa mostrar sem especificar exatamente). $R=X_{(n)}-X_{(1)}$ $\newcommand{\E}{\operatorname{E}}\E R$ $n$ $\theta$

(3) Então deixe . Não é uma função de , e sua expectativa é zero; no entanto, não é certamente igual a zero: portanto, não está completo. Como é mínimo suficiente, segue-se do teorema de Bahadur que nenhuma estatística suficiente é completa. $g(T)=R-\E R$ $\theta$ $T$ $T$

— Scortchi - Restabelecer Monica
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Você poderia dar uma referência ao teorema de Bahadur, onde afirma que, se uma estatística mínima suficiente não estiver completa, uma estatística completa suficiente não existe? Eu estava procurando por esse resultado, mas não o encontrei em lugar nenhum.

— StubbornAtom

@StubbornAtom: o teorema de Bahadur afirma que, se uma estatística é concluída, é mínima o suficiente (desde que exista uma estatística suficiente). Portanto, depois de mostrar que uma estatística mínima suficiente existe e está incompleta, você não precisa se preocupar com a possibilidade de concluir estatísticas suficientes não mínimas. (Ou, é claro, sobre a possibilidade de outras estatísticas mínimas completas suficientes - todas são funções individuais uma da outra.)

— Scortchi - Reinstate Monica

Pensando nisso, seria mais simples dizer que , sendo mínimo o suficiente, é uma função de qualquer estatística suficiente e, portanto, também para mostrar a incompleto de .

T

$T$

f (\cdot)

$f(\cdot)$

S

$S$

g (T) = g (f (S))

$g(T)=g(f(S))$

S

$S$

— Scortchi - Restabelece Monica