Como o modelo linear generalizado generaliza o modelo linear geral?

Da Wikipedia

O modelo linear geral (GLM) é um modelo linear estatístico. Pode ser escrito como 1
$Y = X B + U,$ $\mathbf{Y} = \mathbf{X}\mathbf{B} + \mathbf{U},$ onde $Y$ é uma matriz com uma série de medidas multivariadas, $X$ é uma matriz que pode ser uma matriz de design, $B$ é uma matriz contendo parâmetros que geralmente devem ser estimados e $U$ é uma matriz contendo erros ou ruído. Geralmente, supõe-se que os erros sigam uma distribuição normal multivariada.

Diz então

Se os erros não seguem uma distribuição normal multivariada, modelos lineares generalizados podem ser usadas para relaxar suposições sobre $Y$ e $U$ .

Eu queria saber como os modelos lineares generalizados relaxam suposições sobre $Y$ e $U$ nos modelos lineares gerais?

Note que eu posso entender a outra relação deles na direção oposta:

O modelo linear geral pode ser visto como um caso do modelo linear generalizado com link de identidade.

Mas duvido que isso ajude com minha pergunta.

regression generalized-linear-model assumptions

— Tim
fonte

$1$ $0$

$\hat y_i$ $\mu_i$ $X=x_i$ $\hat\pi_i$ $\bf X$ $\boldsymbol\beta$ produzirá valores previstos de (ou seja, ) que serão ou . Mas isso é impossível, porque o intervalo de é . Portanto, precisamos transformar o parâmetro para que ele possa variar , assim como o lado direito do seu GLiM. Portanto, você precisa de uma função de link . $\hat y_i$ $\hat\pi_i$ $<0$ $>1$ $\pi$ $(0,~1)$ $\pi$ $(-\infty,~\infty)$

Neste ponto, estipulamos uma distribuição de resposta (Bernoulli) e uma função de link (talvez a transformação do logit ). Já temos uma parte estrutural do nosso modelo: . Então agora temos todas as partes necessárias do nosso modelo. Este é agora o modelo linear generalizado, porque relaxamos as suposições sobre nossa variável de resposta e os erros. $\bf X \boldsymbol \beta$

Para responder suas perguntas específicas mais diretamente, o modelo linear generalizado relaxa as suposições sobre e , colocando uma distribuição de resposta (na família exponencial ) e uma função de link que mapeia o parâmetro em questão para o intervalo . $\bf Y$ $\bf U$ $(-\infty,~\infty)$

Para mais informações sobre este tópico, pode ser útil ler minha resposta a esta pergunta: Diferença entre os modelos logit e probit .

— - Reinstate Monica
fonte

(+1) Resposta concisa e compreensível.

— COOLSerdash

Obrigado gung! Em modelos lineares gerais, "geralmente se supõe que os erros sigam uma distribuição normal multivariada". É correto que os modelos lineares gerais não sejam necessariamente paramétricos no sentido de que eles não especificam completamente a forma da distribuição de Y dado X? Como um modelo linear generalizado sempre especifica a distribuição de Y dado X como uma distribuição familiar exponencial, é correto que um modelo linear geral não seja um modelo linear generalizado?

— Tim

Não, o modelo linear geral é totalmente especificado; é sempre um caso especial do modelo linear generalizado.

— gung - Restabelece Monica

"Geralmente, considera-se que" os erros seguem uma distribuição normal multivariada "no WIkipedia para o modelo linear geral significa que o erro pode não ser normalmente distribuído?

— Tim