Gere pares de números aleatórios uniformemente distribuídos e correlacionados

Eu gostaria de gerar pares de números aleatórios com certa correlação. No entanto, a abordagem usual de usar uma combinação linear de duas variáveis ​​normais não é válida aqui, porque uma combinação linear de variáveis ​​uniformes não é mais uma variável distribuída uniformemente. Eu preciso que as duas variáveis ​​sejam uniformes.

Alguma idéia de como gerar pares de variáveis ​​uniformes com uma determinada correlação?

Não conheço um método universal para gerar variáveis ​​aleatórias correlacionadas com qualquer distribuição marginal. Então, proponho um método ad hoc para gerar pares de variáveis ​​aleatórias distribuídas uniformemente com uma dada correlação (Pearson). Sem perda de generalidade, presumo que a distribuição marginal desejada seja uniforme padrão (ou seja, o suporte é ).$[0, 1]$

A abordagem proposta baseia-se no seguinte:
a) Para as variáveis aleatórias uniformes padrão e L 2 com as respectivas funções de distribuição de F 1 e F 2 , temos F i ( L i ) = L i , para i = 1 , 2 . Assim, por definição Rho de Spearman é ρ S ( L 1 , L 2 ) = c o r r ( $U_1$$U_2$$F_1$$F_2$$F_i(U_i) = U_i$$i = 1, 2$ Portanto, o rho de Spearman e o coeficiente de correlação de Pearson são iguais (versões amostrais podem, no entanto, diferir).

b) Se são variáveis aleatórias com margens contínuas e Gaussiana cópula com (Pearson) correlação coeficiente ρ , em seguida, Rho de Spearman é ρ S ( X 1 , X 2 ) = $X_1, X_2$$\rho$ Isso facilita a geração de variáveis ​​aleatórias com o valor desejado do rho de Spearman.

A abordagem é gerar dados da cópula gaussiana com um coeficiente de correlação adequado modo que o rho de Spearman corresponda à correlação desejada para as variáveis ​​aleatórias uniformes.$\rho$

Algoritmo de simulação
Deixe denotar o nível de correlação desejado e n o número de pares a serem gerados. O algoritmo é:$r$$n$

1. Calcule .$\rho = 2\sin (r \pi/6)$
2. Gere um par de variáveis ​​aleatórias da cópula gaussiana (por exemplo, com esta abordagem )
3. Repita o passo 2 vezes.$n$

Exemplo
O seguinte código é um exemplo de execução deste algoritmo com R com um alvo de correlação e n = 500 pares.$r = 0.6$$n = 500$

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
r <- 0.6                            # Target (Spearman) correlation
n <- 500                            # Number of samples

## Functions
gen.gauss.cop <- function(r, n){
    rho <- 2 * sin(r * pi/6)        # Pearson correlation
    P <- toeplitz(c(1, rho))        # Correlation matrix
    d <- nrow(P)                    # Dimension
    ## Generate sample
    U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))
    return(U)
}

## Data generation and visualization
U <- gen.gauss.cop(r = r, n = n)
pairs(U, diag.panel = function(x){
          h <- hist(x, plot = FALSE)
          rect(head(h$breaks, -1), 0, tail(h$breaks, -1), h$counts/max(h$counts))})

Na figura abaixo, os gráficos diagonais mostram histogramas das variáveis e U 2 e os gráficos fora da diagonal mostram gráficos de dispersão de U 1 e U 2 . $U_1$$U_2$$U_1$$U_2$

Por construção, as variáveis ​​aleatórias têm margens uniformes e um coeficiente de correlação (próximo a) . Porém, devido ao efeito da amostragem, o coeficiente de correlação dos dados simulados não é exatamente igual a r .$r$$r$

cor(U)[1, 2]
# [1] 0.5337697

Observe que a gen.gauss.copfunção deve funcionar com mais de duas variáveis ​​simplesmente especificando uma matriz de correlação maior.

Estudo de simulação
O estudo de simulação a seguir repetido para a correlação alvo sugere que a distribuição do coeficiente de correlação converge para a correlação desejada conforme o tamanho da amostra n aumenta.$r= -0.5, 0.1, 0.6$$n$

## Simulation
set.seed(921)
r <- 0.6                                                # Target correlation
n <- c(10, 50, 100, 500, 1000, 5000); names(n) <- n     # Number of samples
S <- 1000                                               # Number of simulations

res <- sapply(n,
              function(n, r, S){
                   replicate(S, cor(gen.gauss.cop(r, n))[1, 2])
               }, 
               r = r, S = S)
boxplot(res, xlab = "Sample size", ylab = "Correlation")
abline(h = r, col = "red")

$u_1$$U(0,1)$$u_1$$w_1$$U(0,1)$$I = 1$$u_1$$w_2$$U(0,1)$$I = 0$$u_1$$U(0,1)$$u_2$

$E(u_1 u_2) = E[I w_1 + (1-I) w_2][I w_1 + (1-I) w_3]$

$I(I-1)=0$$I^2=I$$(1-I)^2=(1-I)$$I$$0$$1$$I$$w$

$E(u_1 u_2) = E(I)E(w_1^2) + E(1-I)E(w_2)E(w_3)$ $=pE(w_1^2)+(1-p)/4$

$V(w_1)=1/12$$E(w_1^2)=1/3$$E(u_1 u_2) = p/12 + 1/4$$cov(u_1 u_2) = p/12$$V(u_1)=V(u_2)=1/12$$cor(u_1, u_2) = p$

$(u_1, u_2) = Iw_1 + (1-I) (w_2, w_3)$$w_1, w_2,$$w_3$$U(0,1)$$I$$p$$u_1$$u_2$$U(0,1)$$p$$k$

$(u_1, u_2) = I(w_1, 1-w_1) + (1-I)(w_2, w_3)$$-p$