Por que o Moran I não é igual a "-1" no padrão de pontos perfeitamente dispersos

A Wikipedia está errada ... ou eu não entendo?

Wikipedia: Os quadrados branco e preto ("padrão de xadrez") estão perfeitamente dispersos, então o de Moran seria -1. Se os quadrados brancos fossem empilhados na metade do tabuleiro e os quadrados pretos na outra, o de Moran estaria perto de +1. Um arranjo aleatório de cores quadradas daria um valor de I de Moran próximo de 0.

# Example data:
x_coor<-rep(c(1:8), each=8)
y_coor<-rep(c(1:8), length=64)
my.values<-rep(c(1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1), length=64)
rbPal <- colorRampPalette(c("darkorchid","darkorange"))
my.Col <- rbPal(10)[as.numeric(cut(my.values,breaks = 10))]

# plot the point pattern...
plot(y_coor,x_coor,col = my.Col, pch=20, cex=8, xlim=c(0,9),ylim=c(0,9))

Então, como você pode ver, os pontos estão perfeitamente dispersos

# Distance matrix
my.dists <- as.matrix(dist(cbind(x_coor,y_coor)))
# ...inversed distance matrix
my.dists.inv <- 1/my.dists
# diagonals are "0"
diag(my.dists.inv) <- 0

Biblioteca de computação I de Moran (macaco)

Moran.I(my.values, my.dists.inv)
$observed
[1] -0.07775248

$expected
[1] -0.01587302

$sd
[1] 0.01499786

$p.value
[1] 3.693094e-05

Por que sou observado = -0,07775248 em vez de "-1".

A Wikipedia, especificamente http://en.wikipedia.org/wiki/Moran's_I, como eu escrevo, está muito errada nesse ponto.

Embora seja uma medida de autocorrelação, não é um análogo exato de nenhum coeficiente de correlação limitado por e . Os limites, infelizmente, são muito mais complicados.- 1 $I$$-1$$1$

Para uma análise muito mais cuidadosa, consulte

de Jong, P., Sprenger, C., van Veen, F. 1984. Em Valores extremos de de Moran e de Geary . Análise Geográfica 16: 17-24. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1538-4632.1984.tb00797.x/pdf$I$$c$

Não tentei verificar seu cálculo.

Ao usar a matriz de pesos espaciais com base na contiguidade do Queens, isto é, os vizinhos são considerados afastados apenas a uma distância de 1 (e não da mesma cor na distância diagonal ), você obtém o valor observado de I de Moran como . -$\sqrt{2}$$-1$

my.dists.bin <- (my.dists == 1)
diag(my.dists.bin) <- 0

library(ape)
Moran.I(my.values, my.dists.bin)

Aqui está sua imagem original para que as pessoas entendam do que estou falando. Esta construção faz com que apenas laranja seja vizinho de roxo e vice-versa apenas roxo seja vizinho de laranja.

Eu ficaria impressionado se você pudesse inventar uma auto-correlação negativa perfeita com uma matriz ponderada por distância inversa, mesmo com os limites listados na citação na resposta de Nick Cox. Grande parte da teoria usada pelos economistas utiliza matrizes binárias de contiguidade padronizadas para desenvolver distribuições (consulte Indicadores locais de associação espacial-LISA ( Anselin, 1995 ) da mesma revista Geographic Analysis). Portanto, em resumo, muitos dos resultados são comprovados apenas para formas particulares de uma matriz de pesos, que não tendem a ser exatamente portáteis para matrizes de pesos espaciais com distância inversa (ou mais exóticas).