Regressão de efeitos mistos não lineares em R

Surpreendentemente, não consegui encontrar uma resposta para a seguinte pergunta usando o Google:

Eu tenho alguns dados biológicos de vários indivíduos que mostram um comportamento de crescimento aproximadamente sigmóide com o tempo. Assim, desejo modelá-lo usando um crescimento logístico padrão

P(t) = k*p0*exp(r*t) / (k+p0*(exp(r*t)-1))

com p0 sendo o valor inicial em t = 0, k sendo o limite assintótico em t-> infinito er sendo a velocidade de crescimento. Tanto quanto eu posso ver, posso modelar isso facilmente usando nls (falta de entendimento da minha parte: por que não posso modelar algo semelhante usando a regressão de logit padrão ao escalonar tempo e dados? EDIT: Obrigado Nick, aparentemente as pessoas fazem, por proporções, mas raramente http://www.stata-journal.com/article.html?article=st0147 A próxima pergunta sobre essa tangente seria se o modelo pode lidar com valores extremos> 1).

Agora, desejo permitir alguns efeitos fixos (principalmente categóricos) e aleatórios (um ID individual e possivelmente também um ID de estudo) nos três parâmetros k, p0 e r. O nlme é a melhor maneira de fazer isso? O modelo SSlogis parece sensato para o que estou tentando fazer, está correto? Um dos seguintes é um modelo sensato para começar? Parece que não consigo acertar os valores iniciais e update () parece funcionar apenas para efeitos aleatórios, não fixos - alguma dica?

nlme(y ~ k*p0*exp(r*t) / (k+p0*(exp(r*t)-1)), ## not working at all (bad numerical properties?)
            data = data,
            fixed = k + p0 + r ~ var1 + var2,
            random = k + p0 + r ~ 1|UID,
            start = c(p0=1, k=100, r=1))

nlme(y ~ SSlogis(t, Asym, xmid, scal), ## not working, as start= is inappropriate
            data = data,
            fixed = Asym + xmid + scal ~ var1 + var2, ## works fine with ~ 1
            random = Asym + xmid + scal ~ 1|UID,
            start = getInitial(y ~ SSlogis(Dauer, Asym, xmid, scal), data = data))

Como sou novo nos modelos mistos não lineares em particular e não lineares em geral, gostaria de receber algumas recomendações de leitura ou links para tutoriais / FAQs com perguntas para iniciantes.

Eu queria compartilhar algumas das coisas que aprendi desde que fiz essa pergunta. O nlme parece uma maneira razoável de modelar efeitos mistos não lineares em R. Comece com um modelo básico simples:

library(nlme)
data <- groupedData(y ~ t | UID, data=data) ## not strictly necessary
initVals <- getInitial(y ~ SSlogis(t, Asym, xmid, scal), data = data)
baseModel<- nlme(y ~ SSlogis(t, Asym, xmid, scal),
    data = data,
    fixed = list(Asym ~ 1, xmid ~ 1, scal ~ 1),
    random = Asym + xmid + scal ~ 1|UID,
    start = initVals
)

Em seguida, use a atualização para aumentar a complexidade do modelo. O parâmetro de início é um pouco complicado de trabalhar, pode levar alguns ajustes para descobrir a ordem. Observe como o novo efeito fixo para var1 no Asym segue o efeito fixo regular do Asym.

 nestedModel <- update(baseModel, fixed=list(Asym ~ var1, xmid ~ 1, scal ~ 1), start = c(fixef(baseModel)[1], 0, fixef(baseModel)[2], fixef(baseModel)[3]))

O lme4 parecia mais robusto contra os outliers no meu conjunto de dados e parecia oferecer uma convergência mais confiável para os modelos mais complexos. No entanto, parece que o lado negativo é que as funções de probabilidade relevantes precisam ser especificadas manualmente. A seguir, é apresentado o modelo de crescimento logístico com um efeito fixo de var1 (binário) no Asym. Você pode adicionar efeitos fixos no xmid e scal de maneira semelhante. Observe a maneira estranha de especificar o modelo usando uma fórmula dupla como resultado - efeitos fixos - efeitos aleatórios.

library(lme4) ## careful loading nlme and lme4 concurrently
customLogitModel <- function(t, Asym, AsymVar1, xmid, scal) {
    (Asym+AsymVar1*var1)/(1+exp((xmid-t)/scal))
}

customLogitModelGradient <- deriv(
    body(customLogitModel)[[2]], 
    namevec = c("Asym", "AsymVar1", "xmid", "scal"), 
    function.arg=customLogitModel
)

## find starting parameters
initVals <- getInitial(y ~ SSlogis(t, Asym, xmid, scal), data = data)

# Fit the model
model <- nlmer(
    y ~ customLogitModelGradient(t=t, Asym, AsymVar1, xmid, scal, var1=var) ~ 
    # Random effects with a second ~
    (Asym | UID) + (xmid | UID) + (scal | UID), 
    data = data, 
    start = c(Asym=initVals[1], AsymVar1=0, xmid=initVals[2], scal=initVals[3])
)