Definição matemática de causalidade

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Seja e variáveis aleatórias. representa a média condicional de dado . Dizemos que não está causalmente relacionado a se não depende de , o que implica que é igual a . Agora, vamos prosseguir com essa definição de causalidade por um segundo. Pela lei das expectativas iteradas, $Y$ $X$ $E(Y|X)$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $E(Y|X)$ $X$ $E(Y)$ . Isso significa que se não depender de , se for igual a , então . $E(XE(Y|X)) = E(E(XY|X)) = E(XY)$ $E(Y|X)$ $X$ $E(Y)$ $E(X)E(Y) = E(XY)$

Em outras palavras:

Se e não estiverem relacionados causalmente, e não serão correlacionados! - Isso não faz sentido e eu sei que isso deve estar errado. Eu defini causalidade incorretamente? O que eu fiz errado? $X$ $Y$ $X$ $Y$

Em econometrics que assumem geralmente . Então é equivalente a . A lógica também se aplica nesse cenário específico. $E(Y|X) = b_0 + b_1X$ $E(Y|X) = E(Y)$ $b_1 = 0$

econometrics causality conditional-expectation

— cristão
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Você disse que

. Eu acredito que isso é errado. E (Y | X) é uma constante. Portanto,

é igual a

. Outro ponto,

E (X E (Y | X)) = E (E (X Y | X)) = E (X Y)

$E(XE(Y|X))=E(E(XY|X))=E(XY)$

E (X E (Y | X))

$E(XE(Y|X))$

E (Y | X) E (X)

$E(Y|X)E(X)$

vem do modelo de regressão linear simples.

E (Y | X) = b 0 + b 1 * X

$E(Y|X)=b0+b1*X$

— Budhapest

Seja E (Y | X) = b, onde b é uma constante. Então tome expectativas de ambos os lados. Verifica-se que E (E (Y | X)) = E (b) = b. Pela lei das expectativas iteradas, E (E (Y | X)) = E (Y). Portanto, se E (Y | X) for constante, ele deverá ser igual a E (Y).

— Christian

Se E (Y / X) = b, isso implica que Y não depende de X e E (Y) = b, você está se confundindo.

— SAAN 12/09

Não entendo por que "isso não faz sentido". Você está começando com uma definição de causalidade que eu acho equivalente à definição de independência nas estatísticas. E variáveis independentes têm covariância zero, onde está a história?

— janeiro

Janeiro, não, eles não são a mesma coisa! X e Y são independentes se a distribuição conjunta fatorar no produto dos marginais, e isso definitivamente não é a mesma coisa. Não vejo qual é o seu ponto? Azeem, além de repetir o que eu disse anteriormente, você tem algo a contribuir? Em vez de dizer que estou errado, você pode explicar por que estou errado?

— Christian

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Você definiu causalidade incorretamente, sim. Provavelmente, você já ouviu o ditado "correlação não é causalidade". Você definiu essencialmente causalidade como correlação. O problema é pior que isso, no entanto. Causalidade não é um conceito estatístico ou probabilístico, pelo menos como esses tópicos são normalmente ensinados. Não há definição estatística ou probabilística de causalidade: nada que envolva expectativas condicionais ou distribuições condicionais ou algo semelhante. É difícil perceber esse fato em cursos de estatística ou econometria.

Infelizmente, tendemos a fazer um trabalho melhor dizendo o que não é causalidade do que o que é causalidade. A causalidade sempre e em toda parte vem da teoria, de um raciocínio a priori, de suposições. Você mencionou econometria. Se você aprendeu as variáveis instrumentais com competência, sabe que os efeitos causais só podem ser medidos se você tiver uma "restrição de exclusão". E você sabe que as restrições de exclusão sempre vêm da teoria.

Você disse que queria matemática, no entanto. O cara que você quer ler é Judea Pearl . Não é uma matemática fácil, e a matemática às vezes se desvia para a filosofia, mas é porque a causalidade é um assunto difícil. Aqui está uma página com mais links sobre o assunto. Aqui está um livro on-line gratuito que me deparei. Finalmente, aqui está uma pergunta anterior em que eu dei uma resposta que você pode achar útil.

— Conta
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Agradeço-vos sinceramente. Vou ler o trabalho dele e voltar para você quando tiver tempo.

— Christian

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Excelente resposta. O livro Morgan & Winship é um pouco mais fácil que Pearl, com foco em problemas de ciências sociais.

— Dimitriy V. Masterov

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Dizemos que não está causalmente relacionado a se não depende de , o que implica que é igual a . $Y$ $X$ $E(Y|X)$ $X$ $E(Y)$

Isto está errado. Relações causais são sobre dependências funcionais / estruturais, não dependências estatísticas / associativas. Você deveria dar uma olhada aqui.

Eu defini causalidade incorretamente? O que eu fiz errado?

Sim, você o definiu incorretamente, pode verificar os livros / referências de inferência causal aqui . Mais formalmente, em um modelo de equações estruturais, o efeito causal de na distribuição de , que podemos denotar por --- isto é, como a mudança de afeta a distribuição de --- é matematicamente definida como a distribuição de probabilidade induzida pelo modelo de equação estrutural modificado, em que a equação para é substituída por . $X$ $Y$ $P(Y|do(X = x))$ $X$ $Y$ $X$ $X = x$

Por exemplo, suponha que seu modelo causal seja definido pelas seguintes equações estruturais:

U = ϵ_{u} X = f (U, ϵ_{x}) Y = g (X, U, ϵ_{y})

$U = \epsilon_u\\ X = f(U, \epsilon_x)\\ Y = g(X,U, \epsilon_y)$

Onde os distúrbios são mutuamente independentes e têm alguma distribuição de probabilidade. Isso corresponde ao DAG:

$\hskip2in$

Então é a distribuição de probabilidade de induzida pelas equações estruturais modificadas: $P(Y|do(X = x))$ $Y$

U = ϵ_{u} X = x Y = g (X, U, ϵ_{y})

$U = \epsilon_u\\ X = x\\ Y = g(X, U, \epsilon_y)$

O que corresponde ao DAG mutilado:

$\hskip2in$

O efeito causal médio seria simplesmente a expectativa de usando o cdf causal . $Y$ $P(Y|do(X=x))$

E [Y | d o (X = x)] = \int Y d P (Y | d o (X = x))

$E[Y|do(X =x)] = \int Y dP(Y|do(X = x))$

Esta é a definição matemática, se você pode identificar o efeito com dados observacionais depende se você pode re-expressar em termos da distribuição observacional sem o operador . $P(Y|do(X=x))$ $do()$

— Carlos Cinelli
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Um contra-exemplo

$E[Y|X] = E[Y]$ $Y$ $X$ $X$ $Y$

$Y = WX$ $X$ $W$ $W = 1$ $-1$ $1/2$ $E[Y|X] = E[Y]$ $Y$ $X$

Um exemplo de uma maneira formal de pensar sobre causalidade

$Y_i$ $i$ $D_i \in \{0,1\}$

E [Y_{i} | D_{i} = 1] - E [Y_{i} | D_{i} = 0] .

$E[Y_i | D_i=1] - E[Y_i|D_i=0].$

Potential Outcome = {\begin{cases} Y_{1, i} & if D_{i} = 1 \\ Y_{0, i} & if D_{i} = 0. \end{cases}

$\text{Potential Outcome} = \left \{ \begin{array}{ll} Y_{1,i} & \text{if } D_i = 1 \\ Y_{0,i} & \text{if } D_i = 0. \end{array} \right .$

Y_{0, i}

$Y_{0,i}$

i

$i$

Y_{1, i}

$Y_{1,i}$

Y_{i} = {\begin{cases} Y_{1, i} & if D_{i} = 1 \\ Y_{0, i} & if D_{i} = 0. \end{cases}

$Y_i = \left \{ \begin{array}{ll} Y_{1,i} & \text{if } D_i = 1 \\ Y_{0,i} & \text{if } D_i = 0. \end{array} \right.$

Y_{i} = Y_{0, i} + (Y_{1, i} - Y_{0, i}) D_{i}

$Y_i = Y_{0,i} + (Y_{1,i} - Y_{0,i}) D_i$

Y_{1, i} - Y_{0, i}

$Y_{1,i} - Y_{0,i}$

\begin{aligned} E [Y_{i} | D_{i} = 1] - E [Y_{i} | D_{i} = 0] & = E [Y_{1, i} | D_{i} = 1] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 1] \\ + E [Y_{0, i} | D_{i} = 1] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 0] . \end{aligned}

$\begin{align*} E[Y_i | D_i=1] - E[Y_i|D_i=0] &= E[Y_{1,i}|D_i = 1] - E[Y_{0,i}|D_i = 1] \\ & \qquad + E[Y_{0,i}|D_i=1] - E[Y_{0,i}|D_i=0]. \end{align*}$

E [Y_{1, i} | D_{i} = 1] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 1]

$E[Y_{1,i}|D_i = 1] - E[Y_{0,i}|D_i = 1]$

E [Y_{0, i} | D_{i} = 1] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 0]

$E[Y_{0,i}|D_i=1] - E[Y_{0,i}|D_i=0]$

D_{i}

$D_i$

\begin{aligned} E [Y_{i} | D_{i} = 1] - E [Y_{i} | D_{i} = 0] & = E [Y_{1, i} | D_{i}] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 0] \\ = E [Y_{1, i} | D_{i}] - E [Y_{0, i} | D_{i} = 1] \\ = E [Y_{1, i} - Y_{0, i} | D_{i} = 1] \\ = E [Y_{1, i} - Y_{0, i}], \end{aligned}

$\begin{align*} E[Y_i | D_i=1] - E[Y_i|D_i=0] &= E[Y_{1,i}|D_i] - E[Y_{0,i}|D_i=0] \\ &= E[Y_{1,i}|D_i] - E[Y_{0,i}|D_i=1] \\ &= E[Y_{1,i} - Y_{0,i}|D_i=1] \\ &= E[Y_{1,i} - Y_{0,i}], \end{align*}$

E [Y_{1, i} - Y_{0, i}]

$E[Y_{1,i} - Y_{0,i}]$

— jmbejara
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$E()$ $E(Y|X) = E(Y)$ $E(X\cdot Y) = E( X )\cdot E( Y )$

No entanto, não vejo onde está o seu problema?

$X$ $Y$
$X$ $Y$

Exemplo: considere a seguinte tabela:

     Y
 X | -1      0      1
 --+---------------------
-1 | 0.25    0     0.25
 1 |   0    0.5      0

$P(X=1 \wedge Y=0) = 0.5$

É fácil ver que $E(Y) = E(X) = E(X \cdot Y) = 0$ $E(Y|X=-1)=E(Y|X=1)=0$ $E(Y|X)=E(X)$

$E(X\cdot Y) = E(X)\cdot E(Y)$

$P(X = 1 \wedge Y = 0 ) = 0.5 \ne 0.5 \cdot 0.5 = P(X=1)\cdot P(Y=0)$

— janeiro
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