Quando a função de distribuição binomial está acima / abaixo da função limitante de distribuição de Poisson?

Deixe- denotam a função de distribuição binomial (DF) com parâmetros e avaliada em : \ begin {equação} B (n, p, r) = \ sum_ {i = 0} ^ r \ binom {n} {i} p ^ i (1-p) ^ {ni}, \ end {equação } e deixe F (\ nu, r) denotar o Poisson DF com o parâmetro a \ in \ mathbb R ^ + avaliado em r \ in \ {0,1,2, \ ldots \} : \ begin {equação} F (a , r) = e ^ {- a} \ sum_ {i = 0} ^ r \ frac {a ^ i} {i!}. \ end {equação}n ∈ N p ∈ ( 0 , 1 ) r ∈ { 0 , 1 , … , n } B ( n , p , r ) = r ∑ i = 0 ($B(n,p,r)$$n \in \mathbb N$$p \in (0,1)$$r \in \{0,1,\ldots,n\}$F(ν,r)a∈R+r∈{0,1,2,…}F(a,r)=e-ar ∑ i=0a

$$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$$ $F(\nu,r)$$a \in \mathbb R^+$$r \in \{0,1,2,\ldots\}$ $$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$$

Considere $p \rightarrow 0$ e deixe $n$ ser definido como $\lceil a/p-d \rceil$ , onde $d$ é uma constante da ordem de $1$ . Como $np \rightarrow a$ , a função $B(n,p,r)$ converge para $F(a,r)$ para todos os $r$ , como é bem conhecido.

Com a definição acima para $n$ , estou interessado em determinar os valores de $a$ para os quais

$$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$$ e similarmente aqueles para os quais $$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$$ Pude provar que a primeira desigualdade vale para $a$ suficientemente menor que $r$ ; mais especificamente, para $a$ menor que um certo limite $g(r)$ , com $g(r)<r$ . Da mesma forma, a segunda desigualdade vale para $a$ quantidade suficientemente maior que $r$ , ou seja, para $a$maior que um certo limite $h(r)$ , com $h(r)>r$ . (As expressões da limites $g(r)$ e $h(r)$ são irrelevantes aqui. Vou fornecer os detalhes para qualquer pessoa interessada.) No entanto, os resultados numéricos sugerem que essas desigualdades segure por limites menos rigorosas, ou seja, para $a$ mais perto $r$ do que posso provar.

Então, eu gostaria de saber se existe algum teorema ou resultado que estabeleça sob quais condições cada desigualdade se mantém (para todos os $p$ ); isto é, quando é garantido que o DF binomial está acima / abaixo do Poisson DF limitador. Se esse teorema não existir, qualquer idéia ou ponteiro na direção certa será apreciada.

Observe que uma pergunta semelhante, formulada em termos de funções beta e gama incompletas, foi publicada em math.stackexchange.com, mas não obteve resposta.

No que diz respeito ao seguinte:

• a média de um dist binômio é$np$

• a variação é$np(1-p)$

• a média de um dist de Poisson é , que podemos imaginar como n × $\lambda$$n\times p$

• a variação de um Poisson é a mesma que a média

Agora, se um Poisson é o limite para um binômio com os parâmetros e p , de modo que n aumenta para o infinito ep diminui para zero enquanto o produto permanece constante, assumindo que n e p não são convergidos para seus respectivos limites, a expressão n p é sempre maior que n p ( 1 - p ) ; portanto, a variação do binômio é menor que a de Poisson. Isso implicaria que o binômio está abaixo nas caudas e acima em outros lugares.$n$$p$$n$$p$$n$$p$$np$$np(1-p)$