Explicando os filtros Kalman em modelos de espaço de estado

Quais são as etapas envolvidas no uso de filtros Kalman em modelos de espaço de estado?

Eu já vi algumas formulações diferentes , mas não tenho certeza dos detalhes. Por exemplo, Cowpertwait começa com este conjunto de equações:

$$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$$ $$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$$

onde e , são nossas estimativas desconhecidas e são os valores observados.$\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$$w_{t} \sim N(0, W_{t})$$\theta_{t}$$y_{t}$

Cowpertwait define as distribuições envolvidas (distribuição anterior, de probabilidade e posterior, respectivamente):

$$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$$ $$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$$ $$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$$

com

$$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$$

A propósito, significa a distribuição de considerando os valores observados até . Uma notação mais simples é mas continuarei com a notação de Cowpertwait.$\theta_{t}|D_{t-1}$$\theta_{t}$$y$$t-1$$\theta_{t|t-1}$

O autor também descreve a previsão para em termos de expectativas:$y_{t+1}|D_{t}$

$$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$$

Pelo que entendi, estas são as etapas, no entanto, informe-me se houver um erro ou uma imprecisão:

1. Começamos com , , ou seja, supomos um valor para nossas estimativas .$m_{0}$$C_{0}$$\theta_{0}$
2. Prevemos um valor para . Isso deve ser igual a que é . é conhecido desde .$y_{1}|D_{0}$$f_{1}$$F^{'}_{1}a_{1}$$a_{1}$$a_{1} = G_{1}m_{0}$
3. Uma vez que temos nossa previsão para , calculamos o erro .$y_{1}|D_{0}$$e_{1} = y_{1} - f_{1}$
4. O erro é usado para calcular a distribuição posterior que requer e . é dado como uma soma ponderada da média anterior e o erro: .$e_{1}$$\theta_{1}|D_{1}$$m_{1}$$C_{1}$$m1$$a_{1} + A_{1}e_{1}$
5. Na iteração a seguir, começamos prevendo como na etapa 1. Nesse caso, . Como e é a expectativa de que já calculamos na etapa anterior, então podemos calcular o erro e a média da distribuição posterior como antes.$y_{2}|D_{1}$$f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$$a_{2} = G_{2}m_{1}$θ 1 | D 1 e 2 θ 2 | D $m1$$\theta_{1}|D_{1}$$e_{2}$$\theta_{2}|D_{2}$

Eu acho que o cálculo da distribuição posterior é o que algumas pessoas chamam de etapa de atualização e o uso da expectativa de é a etapa de previsão. y t + 1 | D $\theta_{t}|D_{t}$$y_{t+1}|D_{t}$

Por uma questão de brevidade, omiti as etapas para calcular as matrizes de covariância.

Eu perdi alguma coisa? Você conhece uma maneira melhor de explicar isso? Eu acho que isso ainda é um pouco confuso, então talvez haja uma abordagem mais clara.

Eu acho que o que você diz está correto, e não acho que seja confuso. Uma maneira de frasear seria dizer que o filtro Kalman é um algoritmo de correção de erros, que modifica previsões à luz das discrepâncias com as observações atuais. Essa correção é feita na etapa 4) usando a matriz de ganho .$A_t$