Notação subscrita em expectativas

Qual é o significado exato da notação subscrita em expectativas condicionais na estrutura da teoria da medida? Esses subscritos não aparecem na definição de expectativa condicional, mas podemos ver, por exemplo, nesta página da wikipedia . (Observe que nem sempre foi o caso, a mesma página há alguns meses). $\mathbb{E}_X[f(X)]$

Qual deveria ser, por exemplo, o significado de com e ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— Emile
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Sem dúvida, alguém vai concordar com as definições formais, informalmente, todas as expectativas são expectativas sobre a distribuição de (/ expectativa em relação a) alguma variável aleatória (possivelmente multivariada), independentemente de ter sido explicitamente especificada ou implícita. Em muitos casos, é óbvio ( implica vez de ). Outras vezes, é necessário distinguir; considere a lei da variação total, por exemplo: .

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b 12/10

@Glen_b É realmente necessário especificar na lei da variação total? Como , para alguns , não está claro que está acima de ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— Thomas Ahle

@ThomasAhle Você está certo - "necessário" era uma palavra muito forte para esse exemplo. Embora, estritamente falando, deva ficar claro, muitas vezes é um ponto de confusão para os leitores que não estão acostumados a trabalhar com isso, por isso é comum, e não necessário, ser explícito sobre isso. Há algumas expressões que envolvem expectativas, onde você não pode ter certeza sem especificar, mas isso não é realmente um deles

— Glen_b

Em uma expressão em que mais de uma variável aleatória está envolvida, o símbolo si só não esclarece com relação a qual variável aleatória é o valor esperado "obtido". Por exemplo $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ ou

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

Nem . Quando muitas variáveis aleatórias estão envolvidas e não há subscrito no símbolo , o valor esperado é obtido com relação à sua distribuição conjunta: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

Quando um subscrito está presente ... em alguns casos, ele nos diz em qual variável devemos condicionar . assim

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... Mas em outros casos, ele nos diz qual densidade usar para a "média"

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

Bastante confuso, eu diria, mas quem disse que a notação científica é totalmente livre de ambiguidade ou uso múltiplo? Você deve observar como cada autor define o uso desses símbolos.

— Alecos Papadopoulos
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Eu tenho duas perguntas. 1) Não tenho certeza se entendi corretamente, posso interpretar a expectativa como uma das duas primeiras equações, se X ou Y foram corrigidos? 2) Você pode dar um exemplo para os equalizadores 4 e 5? É difícil interpretá-los e acho que exemplos concretos ajudariam. Obrigado!

— gato do teto

@ cat cat 1) está correto porque essencialmente você não tem mais duas variáveis aleatórias. Da mesma forma para fixar em .

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— Alecos Papadopoulos

@ gato de sorte 2) -EQ5: Considere . é uma variável aleatória correta (para um suporte apropriado). Em seguida, usando o significado específico para a notação curta, que é a densidade de (o que quer que seja). Obviamente, não está integrado e permanecerá intacto. Mas o resultado que você obterá vence ' seja um número (como no meu comentário anterior), mas uma variável aleatória (uma função de ), já que aqui não é fixo, apenas não integrado

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Alecos Papadopoulos

@ cat de cimento Nos dois casos nos meus dois comentários anteriores, a "mecânica" dos cálculos matemáticos será a mesma. Os resultados finais têm interpretações diferentes.

— Alecos Papadopoulos

@ceiling gato 2) -EQ4: Considere o mesmo variável aleatória . Seu valor esperado condicional em é (usando o outro significado para a notação abreviada) . Observe que aqui os e não aparecem diretamente no integrando - eles estão "condensados" no símbolo .

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— Alecos Papadopoulos