Como encontro a probabilidade de um erro do tipo II?

Eu sei que um erro do tipo II é onde H1 é verdadeiro, mas H0 não é rejeitado.

Questão

Como faço para calcular a probabilidade de um erro do tipo II envolvendo uma distribuição normal, onde o desvio padrão é conhecido?

probability power-analysis type-i-and-ii-errors

— Jeromy Anglim
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Consulte o artigo da Wikipedia 'Poder estatístico'

— onestop

Eu reformularia esta pergunta como "como encontro o poder de um teste geral, como

versus

?" Este é frequentemente o teste mais frequentemente realizado. Não sei como calcular o poder de um teste desse tipo.

H_{0} : μ = μ_{0}

$H_{0}:\mu=\mu_{0}$

H_{1} : μ > μ_{0}

$H_{1}:\mu > \mu_{0}$

— probabilityislogic

$\alpha$ $\mu_{0}$ $\mu_{1}$ $\sigma$ $\beta$ $1 - \textrm{power}$ $H_{1}: \mu_{1} > \mu_{0}$

> sigma <- 15    # theoretical standard deviation
> mu0   <- 100   # expected value under H0
> mu1   <- 130   # expected value under H1
> alpha <- 0.05  # probability of type I error

# critical value for a level alpha test
> crit <- qnorm(1-alpha, mu0, sigma)

# power: probability for values > critical value under H1
> (pow <- pnorm(crit, mu1, sigma, lower.tail=FALSE))
[1] 0.63876

# probability for type II error: 1 - power
> (beta <- 1-pow)
[1] 0.36124

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xLims <- c(50, 180)
left  <- seq(xLims[1],   crit, length.out=100)
right <- seq(crit, xLims[2],   length.out=100)
yH0r  <- dnorm(right, mu0, sigma)
yH1l  <- dnorm(left,  mu1, sigma)
yH1r  <- dnorm(right, mu1, sigma)

curve(dnorm(x, mu0, sigma), xlim=xLims, lwd=2, col="red", xlab="x", ylab="density",
      main="Normal distribution under H0 and H1", ylim=c(0, 0.03), xaxs="i")
curve(dnorm(x, mu1, sigma), lwd=2, col="blue", add=TRUE)
polygon(c(right, rev(right)), c(yH0r, numeric(length(right))), border=NA,
        col=rgb(1, 0.3, 0.3, 0.6))
polygon(c(left,  rev(left)),  c(yH1l, numeric(length(left))),  border=NA,
        col=rgb(0.3, 0.3, 1, 0.6))
polygon(c(right, rev(right)), c(yH1r, numeric(length(right))), border=NA,
        density=5, lty=2, lwd=2, angle=45, col="darkgray")
abline(v=crit, lty=1, lwd=3, col="red")
text(crit+1,  0.03,  adj=0, label="critical value")
text(mu0-10,  0.025, adj=1, label="distribution under H0")
text(mu1+10,  0.025, adj=0, label="distribution under H1")
text(crit+8,  0.01,  adj=0, label="power", cex=1.3)
text(crit-12, 0.004,  expression(beta),  cex=1.3)
text(crit+5,  0.0015, expression(alpha), cex=1.3)

— caracal
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pow

$\texttt{pow}$

β

$\beta$

@ jdods De fato, havia uma lower.tail=FALSEfalta. Muito obrigado!

— Caracal

@caracal, você poderia explicar, em termos leigos, por que podemos calcular um valor-p (risco de erro do tipo 1) sem considerar o beta, mas precisamos especificar alfa para poder medir o risco de erro do tipo 2? Sinto como se estivesse perdendo alguma coisa. Obrigado pela sua excelente resposta.

— Cystack

@Cystack O significado exato de um valor p, erro tipo 1 e erro tipo 2 está além do que pode ser transmitido em um comentário. Eu começaria a procurar respostas para perguntas como stats.stackexchange.com/q/46856/1909 ou stats.stackexchange.com/q/129628/1909 , também veria as caixas "Vinculadas" e "Relacionadas" no canto superior direito para conteúdo mais relevante.

— caracal

Para complementar a resposta de caracal, se você estiver procurando por uma opção de interface gráfica amigável para calcular taxas de erro do tipo II ou energia para muitos projetos comuns, incluindo os implícitos em sua pergunta, consulte o software gratuito G Power 3 .

— Jeromy Anglim
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