Existe algum "padrão" para a notação de modelo estatístico?

Por exemplo, no manual BUGS ou no próximo livro de Lee e Wagenmakers ( pdf ) e em muitos outros lugares, é usado um tipo de notação que me parece muito flexível, pois pode ser usada para descrever sucintamente a maioria dos modelos estatísticos. Um exemplo dessa notação é o seguinte:

y_{i} \sim Binomial (p_{i}, n_{i}) \log (\frac{p_{i}}{1 - p_{i}}) = b_{i} b_{i} \sim Normal (μ_{p}, σ_{p})

$y_i \sim \text{Binomial}(p_i,n_i) \\ \log(\frac{p_i}{1 - p_i}) = b_i \\ b_i \sim \text{Normal}(\mu_p,\sigma_p)$

que descreveria um modelo logístico hierárquico sem preditores, mas com grupos. Essa maneira de descrever modelos parece funcionar igualmente bem para descrever modelos freqüentistas e bayesianos, por exemplo, para tornar essa descrição totalmente bayesiana, você teria que adicionar anteriores em e . $i = 1\dots n$ $\mu_p$ $\sigma_p$

Esse tipo de notação / formalismo de modelo é descrito em detalhes em algum artigo ou livro?

Se você quiser usar essa notação para escrever modelos, existem muitas maneiras diferentes de fazer as coisas e seria realmente útil com um guia abrangente para seguir e referenciar outras pessoas. Algumas diferenças que encontrei na maneira como as pessoas usam esse tipo de notação:

Como você chama distribuições? Por exemplo, eu vi $\mathcal{N},\text{N},\text{Norm},\text{Normal}$ etc.
Como você lida com índices? Por exemplo, eu vi $y_{ij}$ , $y_{i[j]}$ , $y_{j|i}$ , etc.
Quais símbolos de parâmetro são geralmente usados para parâmetros. Por exemplo, é comum usar $\mu$ como a média para a distribuição normal, mas e outras distribuições? (Para isso, costumo verificar as distribuições da Wikipedia )

Pergunta de acompanhamento: Esta notação tem um nome? (Por falta de um nome melhor, chamei de convenção centrada na distribuição de probabilidade em um post que escrevi ...)

references model notation

— Rasmus Bååth
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Alguns padrões recomendados para notação estatística são apresentados em Halperin, Hartley e Hoel (1965) e Sanders e Pugh (1972) . A maior parte da notação atual vem de convenções estabelecidas pelos estatísticos biométricos no final do século XIX e início do século XX (a maior parte foi feita por Pearson, Fisher e seus associados). Uma lista útil de usos iniciais de notação é mantido pelo economista John Aldrich aqui , e um relato histórico da escola biométrica Inglês é publicado em Aldrich (2003) . (Se você tiver mais dúvidas sobre esse tópico, Aldrich é provavelmente o principal especialista em vida do mundo na história da notação em estatística.)

Além deste trabalho explícito, existem muitos livros que apresentam introduções ao campo e são cuidadosos ao definir notação consistente com convenções comuns, definindo a notação à medida que avançam. Existem muitas convenções conhecidas nesse campo, que são consistentes na literatura, e os estatísticos estão familiarizadas com elas através da prática, mesmo sem ter lido as recomendações desses pesquisadores.

Ambiguidade da notação centrada na distribuição: O uso da notação "centrada na distribuição" é uma convenção padrão usada em toda a literatura estatística. No entanto, uma coisa interessante a destacar sobre essa notação é que há um pouco de espaço de manobra sobre o que realmente significa. A convenção padrão é ler o objeto no lado direito dessas instruções como algum tipo de descrição de uma medida de probabilidade (por exemplo, uma função de distribuição, função de densidade, etc.) e depois ler o $\sim$ relação com o significado "... tem distribuição ..." ou "... tem medida de probabilidade ...", etc. Sob essa interpretação, a relação compara dois conjuntos distintos de coisas; o objeto no lado esquerdo é uma variável aleatória e o objeto no lado direito é uma descrição de uma medida de probabilidade.

No entanto, também é igualmente válido interpretar o lado direito como uma referência a uma variável aleatória (em oposição a uma distribuição) e ler a relação como significando "... tem a mesma distribuição que ..." . Sob essa interpretação, a relação é uma relação de equivalência comparando variáveis aleatórias; os objetos do lado esquerdo e do lado direito são variáveis aleatórias e a relação é reflexiva, simétrica e transitiva. $\sim$

Isso fornece duas interpretações possíveis (e igualmente válidas) de uma declaração como:

X \sim N (μ, σ^{2}) .

$X \sim \text{N}(\mu, \sigma^2).$

Interpretação distributiva: " possui distribuição de probabilidade ". Essa interpretação considera o último objeto uma descrição de uma medida de probabilidade normal (por exemplo, sua função de densidade, função de distribuição, etc.). $X$ $\text{N}(\mu, \sigma^2)$
Interpretação de variável aleatória: " tem a mesma distribuição de probabilidade que ". Essa interpretação considera o último objeto uma variável aleatória normal. $X$ $\text{N}(\mu, \sigma^2)$

Cada interpretação tem vantagens e desvantagens. A vantagem da interpretação de variável aleatória é que ela usa o símbolo padrão para se referir a uma relação de equivalência , mas sua desvantagem é que requer referência a variáveis aleatórias com notação semelhante às suas funções de distribuição. A vantagem da interpretação distributiva é que ela usa notação semelhante para as distribuições como um todo e suas formas funcionais com um determinado valor de argumento; a desvantagem é que ele usa o símbolo uma maneira que não é uma relação de equivalência. $\sim$ $\sim$

Aldrich, J. (2003) A Língua da International Statistical Review da Escola Biométrica Inglesa 71 (1) , pp. 109-131.

Halperin, M., Hartley, HO e Hoel, PG (1965) Padrões recomendados para símbolos estatísticos e notação . The American Statistician 19 (3) , pp. 12-14.

Sanders, JR e Pugh, RC (1972) Recomendação para um conjunto padrão de símbolos e notações estatísticas . Pesquisador Educacional 1 (11) , pp. 15-16.

— Ben - Restabelecer Monica
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