Probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir um ponto fixo

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Estou em uma aula de estatística introdutória na qual a função de densidade de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas foi definida como . Entendo que a integral de mas não posso retificar isso com a intuição de uma variável aleatória contínua. Diga X é a variável aleatória igual ao número de minutos a partir do momento t que o trem chega. Como calculo a probabilidade de o trem chegar exatamente a 5 minutos a partir de agora? Como essa probabilidade pode ser zero? Isso não é possível? E se o trem não chega exatamente 5 minutos a partir de agora, como poderia ocorrer se ele tinha probabilidade 0? $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$ $\int\limits_a^af(x)dx=0$

Obrigado.

— geofflittle
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Levar algumas dessas perguntas à cabeça é útil. Por exemplo , se sua intuição diz que todo tempo possível deve ter uma probabilidade estritamente positiva, então - porque há um conjunto incontável de tempos possíveis em qualquer intervalo - sua intuição implica que a probabilidade total é infinita. Obviamente que a intuição está errada. Uma coisa que precisa ser abandonada é a idéia de que uma probabilidade zero implica uma impossibilidade: isso não é verdade. Da mesma forma, uma probabilidade de um não implica uma certeza.

— whuber

@whuber Isso é o que não posso corrigir. Se a probabilidade de um evento ocorrer for 0, isso nunca deve acontecer. Por exemplo, se eu tiver um dado de seis lados padrão, a probabilidade de rolar qualquer número é 0 e, portanto, será nunca acontece. Além disso, como um evento com probabilidade 1 pode não ser uma certeza no experimento subsequente? Você poderia dar um exemplo?

Z ∖ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

$\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

— precisa saber é o seguinte

1

Suponha que você veja um círculo no qual um acorde é mostrado e pareça ter um diâmetro, fazendo com que você se pergunte "qual era a chance de um acorde selecionado aleatoriamente não ter um diâmetro?" Quando o acorde é obtido escolhendo um par de pontos de maneira uniforme e independente ao longo da circunferência, a resposta é , mas esse evento não ocorreu. Isso fornece (bastante forte!) Evidência de que o acorde não foi o resultado do processo aleatório que você postou. Uma lição oferecida por esses experimentos é que intuições baseadas em espaços finitos de probabilidade nem sempre generalizam.

1

$1$

— whuber

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Você pode estar caindo na armadilha de considerar que 'daqui a cinco minutos' durará algum período finito de tempo (o que teria uma probabilidade diferente de zero).

"Cinco minutos a partir de agora" no sentido variável contínuo é verdadeiramente instantâneo.

Imagine que a chegada do próximo trem seja distribuída uniformemente entre 8:00 e 8:15. Imagine ainda que definimos a chegada de um trem como ocorrendo no instante em que a frente do trem passa por um ponto específico da estação (talvez o ponto médio da plataforma, se não houver um marco melhor). Considere a seguinte sequência de probabilidades:

a) a probabilidade de um trem chegar entre 8:05 e 8:10

b) a probabilidade de um trem chegar entre 8:05 e 8:06

c) a probabilidade de chegada de um trem entre 8:05:00 e 8:05:01

d) a probabilidade de um trem chegar entre 8:05:00 e 8: 05: 00.01 (ou seja, no espaço de um centésimo de segundo

e) a probabilidade de um trem chegar entre 8:05 e um bilionésimo de segundo depois

f) a probabilidade de um trem chegar entre 8:05 e um quadrilionésimo de segundo depois

... e assim por diante

A probabilidade de chegar exatamente às 8:05 é o valor limitador de uma sequência de probabilidades como essa. A probabilidade é menor que todo . $\epsilon>0$

— Glen_b -Reinstate Monica
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Entendo isso, mas, supondo que o trem chegue, ele chega em algum momento. Por que esse limite ainda não pode convergir para alguma probabilidade?

— precisa saber é o seguinte

Se você o entende, como diz, pode calcular a probabilidade da maneira indicada. Deixe-me facilitar: imagine por conveniência de cálculo que o horário exato em que um trem "chega" (no entanto, o definimos, desde que seja realmente contínuo) em um tempo uniformemente distribuído no intervalo (0,1) (a qualquer momento) é uma unidade de tempo conveniente). Qual é a probabilidade de o trem chegar antes do tempo , para alguns dentro do intervalo? Qual é a probabilidade de chegar depois do tempo ? Qual é a probabilidade de que ele chegue entre e ? ... (ctd)

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x + d x

$x+dx$

— Glen_b -Replica Monica

(CTD) ... Dizer que 'chega no momento ' para uma variável contínua, significa "o que é o limite do que a última probabilidade como . Então, qual é esse limite? Work it out! Isso é a probabilidade que converge para Este recurso está intimamente relacionada com o que faz um pdf contínua contínua..

x

$x$

d x \to 0 ?

$dx\to 0?$

— Glen_b -Reinstate Monica

Observe também que se esse último limite for zero, suas três probabilidades (antes de , depois de e "em" ) não serão adicionadas a 1.

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— Glen_b -Reinstate Monica

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E se o trem chegar exatamente a 5 minutos a partir de agora, como isso poderia ocorrer se tivesse probabilidade 0?

Uma afirmação probabilística não é uma afirmação sobre a possibilidade / viabilidade de um evento. Isso apenas reflete nossa tentativa de quantificar nossa incerteza quanto a isso acontecer. Portanto, quando um fenômeno é contínuo (ou é modelado como um), nossas ferramentas e nosso estado atual de conhecimento não nos permitem fazer uma afirmação probabilística sobre a obtenção de um valor específico . Só podemos fazer essa afirmação relacionada a um intervalode valores. Obviamente, o truque usual aqui é discretizar o suporte, considerar intervalos "pequenos" de valores em vez de valores únicos. Como as variáveis aleatórias contínuas trazem grandes benefícios e flexibilidade em comparação com as variáveis aleatórias discretas, verificou-se que este é um preço bastante pequeno a pagar, talvez tão pequeno quanto os intervalos que somos forçados a considerar.

— Alecos Papadopoulos
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Pr (X = a) = 0

$\Pr(X=a)=0$

X

$X$

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Olá @whuber. Com relação à distinção entre modelo e fenômeno, um mapa da Terra não é Terra, mas pode ajudá-lo a percorrer a Terra. É assim que penso nos modelos, quando não os trato como objetos de puro prazer intelectual (o que eles também são). Quanto à questão da "probabilidade zero", é uma imperfeição - afinal, não seria ótimo ter todos os benefícios da continuidade e poder fazer uma declaração de probabilidade sobre um único valor? Mas ser imperfeito não torna algo inaplicável, é claro, e, enquanto escrevo, essa imperfeição provou ser de pouca importância.

— Alecos Papadopoulos

Você supõe implicitamente que a probabilidade é uma coisa objetiva "lá fora" na sua analogia de mapeamento, mas não é. Probabilidade tem um significado apenas dentro de um modelo. Não vejo "imperfeições" nos axiomas da probabilidade e, de fato, é possível fazer afirmações precisas e consistentes sobre probabilidades de valores únicos: geralmente elas são zero.

— whuber

2

@whuber Não, acho que não, e não entendo onde você viu isso no que escrevi. Eu disse "o mapa não é a terra", o que significa "o que há no modelo não existe na realidade", então como você pode deduzir disso exatamente o oposto? A "imperfeição" não se refere aos axiomas da probabilidade, mas a quais ferramentas esses axiomas nos levam e a quão efetivamente essas ferramentas podem ser usadas para modelar, estudar e entender o mundo real. E é óbvio que acredito que a probabilidade é uma ferramenta eficaz.

— Alecos Papadopoulos

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Para lhe dar alguma intuição, tente o seguinte experimento (pensamento):

Desenhe uma linha real em torno de zero com uma régua. Agora dê um dardo agudo e deixe-o cair de cima aleatoriamente na linha (vamos supor que você sempre acerte a linha e apenas o posicionamento lateral é importante para o argumento).

No entanto, muitas vezes você deixa o dardo cair aleatoriamente na linha, nunca atingirá o ponto zero. Por quê? Pense qual é o ponto zero, pense qual é a sua largura. E depois de reconhecer que a largura é 0, você ainda acha que pode atingi-lo?

Você será capaz de atingir o ponto 1 ou -2? Ou qualquer outro ponto que você escolher sobre esse assunto?

Voltando à matemática, essa é a diferença entre o mundo físico e um conceito matemático como números reais (representados pela linha real no meu exemplo). A teoria da probabilidade tem uma definição de probabilidade um pouco mais complicada do que você verá em sua palestra. Para quantificar a probabilidade de eventos e qualquer combinação de seus resultados, você precisa de uma medida de probabilidade. Tanto a medida de Borel quanto a de Lebesgue são definidas para um intervalo [a, b] na linha real como: partir desta definição, você pode ver o que acontece com a probabilidade se você reduzir o intervalo para um número (definindo a = b).

μ ([a, b]) = b - a

$\mu([a,b])=b-a$

A conclusão é que, com base em nossa definição atual da teoria das probabilidades (que remonta a Kolmogorov), o fato de um evento ter 0 probabilidades não significa que não possa ocorrer.

E no que diz respeito ao seu exemplo no trem, se você tiver um relógio infinitamente preciso, seu trem nunca chegará exatamente na hora.

— meio-para-significado
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Você diz "você nunca atingirá o ponto zero", mas o que você pode dizer sobre o ponto que eu acertei no meu primeiro arremesso de dardo? Seja o ponto que eu acertei. Antes de jogar meu dardo, você diria "você nunca atingirá o ponto ", mas eu acabei de acertar. O que agora?

x

$x$

x

$x$

— precisa saber é o seguinte

Eu acho que você precisa diferenciar entre a pergunta: qual é a probabilidade de eu chegar a algum ponto? Se concordarmos que você sempre lança um dardo e sempre bate em algum lugar ao longo da linha, essa probabilidade é 1. Além disso, não estou apenas dizendo que você não atingirá 0. Estou dizendo que a probabilidade de acertar QUALQUER ponto que você escolher ANTES de jogar o dardo é 0. Na verdade, você pode escolher qualquer conjunto finito de pontos e a probabilidade ainda será 0.

— significa o significado de

Em relação à sua pergunta, entendi o seu ponto, mas perguntar sobre probabilidades de eventos após a ocorrência delas não é sensato. Uma afirmação como P (X = x) refere-se à realização futura de uma variável aleatória X. Então, depois que você chegar a um ponto, não falarei nada sobre isso. (letras maiúsculas usadas apenas para indicar o fluxo de tempo, para não gritar ...)

— significa que significa

1

Uma distribuição de probabilidade precisa ter uma área de unidade. Se a medida for contínua, há um número infinito de valores que ela pode obter (ou seja, um número infinito de valores ao longo do eixo x da distribuição). A única maneira pela qual a área total da distribuição de probabilidade pode ser finita é que o valor em cada número infinito de valores seja zero. Um dividido pelo infinito.

Na 'vida real' não pode haver medidas que usem um número infinito de valores (por vários argumentos filosóficos diferentes que não importam muito aqui); portanto, nenhum valor precisa ter uma probabilidade exatamente igual a zero. Um argumento prático útil é baseado na precisão finita de medições do mundo real. Se você usar um cronômetro de até um décimo de segundo, o trem terá um décimo de segundo para chegar em 'exatamente' cinco minutos.

— Michael Lew
fonte

3

O primeiro parágrafo aqui fornece alguma intuição vaga, embora as etapas dedutivas estejam incorretas. Existem muitas distribuições que admitem um número infinito de valores, mas cada valor tem uma probabilidade estritamente positiva. O segundo parágrafo pode se beneficiar de uma reformulação que enfatize que a cada valor de medição está associado um intervalo (pequeno) de valores possíveis da quantidade de interesse subjacente.

— cardeal

Qual é a diferença entre um valor estritamente positivo (de um valor finito dividido pelo infinito?) E zero neste contexto?

— Michael Lew

2

Meu argumento, provavelmente mal formulado, é que o argumento no primeiro parágrafo é baseado na falsa premissa de que, como a variável aleatória pode assumir infinitos valores, cada resultado individual deve ter probabilidade zero. É claro que isso está incorreto (Poisson, geométrico etc.); o conceito de "infinito" não é suficientemente forte aqui, exigimos incontabilidade .

— cardeal

0

Outras pessoas responderam por que a probabilidade é zero (se você aproximar o tempo como contínuo, o que não é efetivamente , mas de qualquer maneira ...), então irei repetir brevemente. Para responder à última pergunta que o OP fez --- "como poderia ocorrer se tivesse probabilidade 0?" --- muitas e muitas coisas podem ocorrer se tiverem probabilidade zero. Todo um conjunto de probabilidade zero significa que, no espaço de possíveis coisas que poderiam acontecer, o conjunto ocupa espaço. Isso é tudo. Não é mais significativo que isso. $A$ $A$

Estou escrevendo isso para abordar outra coisa que o OP disse nos comentários:

Você diz "você nunca atingirá o ponto zero", mas o que você pode dizer sobre o ponto que eu acertei no meu primeiro arremesso de dardo? Seja o ponto que eu acertei. Antes de jogar meu dardo, você diria "você nunca acertará o ponto 𝑥", mas eu acabei de acertar. O que agora?

Essa é uma pergunta muito boa e que, quando comecei a aprender sobre probabilidade, lutei com ela. Aqui está a resposta: não é equivalente à pergunta que você fez originalmente! O que você fez foi levar tempo para a análise, e isso significa que a estrutura de probabilidade subjacente muda para se tornar muito mais complexa. Aqui está o que você precisa saber. Um espaço de probabilidade consiste em três coisas: um espaço subjacente , como ou ; um conjunto de todos os resultados possíveis nesse espaço, como o conjunto de todos os intervalos semiabertos em e uma medida que satisfaça $(\Omega, A, \mu)$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $\mu$ $\mu(\Omega) = 1$ . Seu problema original reside no espaço onde é a medida de Lebesgue (isso significa que ). Nesse espaço, a probabilidade de você atingir qualquer ponto é zero pelas razões discutidas acima - acho que esclarecemos isso. Mas agora, quando você diz coisas como a passagem citada acima, está definindo algo chamado filtragem , que escreveremos como . Uma filtragem em geral é uma coleção de subconjuntos de que satisfazem para todos os $([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$ $\nu$ $\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$ $x \in [a,b]$ $\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$ $A$ $\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$ $t < s$ . No seu caso, podemos definir a filtragem Agora, neste novo subconjunto do seu espaço de resultados, adivinhe - você está certo! Você acertou e, após seu primeiro arremesso, sua probabilidade de atingir esse ponto quando restrita à filtragem é 1.

F_{t} = {x \in [a, b] : dart hit x at time t^{'} < t} .

$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$ $\mathcal{F}_1$

Como você está usando linguagem técnica, seria melhor empregar significados padrão para os termos. Em particular, o que você chama de "resultado" é geralmente chamado de evento (básico) : os resultados são os elementos de Sua fórmula para a medida de Lebesgue (normalizada) está incorreta: suspeito que você pretendeu Em um nível mais fundamental, não está claro por que você precisa invocar a maquinaria dos processos estocásticos para discutir uma variável aleatória modelando a hora de um único evento, nem é evidente que isso fornece qualquer insight.

Ω .

$\Omega.$

ν ([c, d]) = (d - c) / (b - a) .

$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$

— whuber