Demonstração do viés quantil da amostra

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Ao fazer algumas simulações, percebi que o quantil da amostra é um estimador tendencioso do quantil verdadeiro. E, de acordo com minhas simulações, uma potencialmente muito tendenciosa.

Fiquei surpreso com esse resultado, pois o CDF empírico não é tendencioso, mas depois de algumas pesquisas na Internet, descobri que era verdade .

Tentei descobrir de onde vem esse viés, mas trabalhar com quantis de amostra é bastante difícil. Alguém tem uma demonstração desse viés (e, idealmente, uma quantificação)?

estimation quantiles

— Thomas
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O ECDF é imparcial para o cdf, mas como você passaria do ECDF para um quantil de amostra?

— Glen_b -Reinstala Monica

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Não existe o "quantil da amostra". Existem muitas definições de quantis de amostra. Você precisa especificar qual deles você quer dizer.

— 22813 Rob Robndndman

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O viés na estimativa dos calibres- é investigado de maneira livre de distribuição $p$

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016771520000242X

(um pdf pode ser encontrado na mesma página). Os autores enfocam o estimador quantil baseado na inversão do ECDF. Nenhuma suposição sobre a distribuição subjacente é feita (exceto o segundo momento finito), portanto, também são incluídas distribuições discretas.

Alguns destaques:

$\sigma$
$\sigma < \infty$ $\frac{\sigma}{\sqrt{p (1-p)}}$ $n$
$np>3$ $p$ $-\sqrt{(1-p)/p}$ $1-p$ $\sqrt{p/(1-p)}$

— Michael M
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Apenas para adicionar a esse post antigo, o ECDF é imparcial apenas em amostras de tamanhos altos. Em valores baixos de N, é tendencioso. Considere o caso trivial de N = 1 e o ECDF assume um valor de 1 no valor da amostra e acima dele. Pergunte a si mesmo qual é o valor da distribuição subjacente que fornece uma probabilidade de 1?

O viés realmente excede sqrt (2 * pi) / (2N) * SD ou 1,25 / N * SD, portanto, para um N de 5, esse é um viés de 0,25 SD.

Em vez de um ECDF baseado em k / N, tente (k-0,5) / N para obter um ECDF imparcial. Isso pode fornecer quantis de amostra imparciais. Também garante que o ECDF (x) = 1-ECDF (-x) seja aproveitado por todas as outras distribuições cumulativas.

Na minha humilde opinião, o ECDF, conforme definido e usado, é um enorme equívoco. Isso inclina Kolmogorov Smirnov, Lilliefors e outros testes padrão a baixa N.

Confira Gilchrist "Modelagem estatística com funções quantílicas"

— user2092957
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Este é um ponto interessante, mas tecnicamente, o ECDF é imparcial! Você se refere ao fato de que, digamos, depois de ver que ECDF (x) = 1, você sabe que o erro pode ter apenas um sinal; portanto, você tem um viés condicional de classificação. Mas a propriedade freqüentista da imparcialidade refere-se à situação antes de ver qualquer dado, não ao viés condicional a que você se refere.

— Kjetil b halvorsen

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Existe uma definição única de quantil de amostra verdadeira (que não é a normalmente apresentada). Veja: http://dx.doi.org/10.1155/2014/326579

— user153836
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O artigo é interessante, mas muitos leitores se beneficiariam de um resumo dos argumentos e por que as muitas definições existentes são mal orientadas.

— Mdewey