Problema ao calcular a distribuição conjunta e marginal de duas distribuições uniformes

8

Suponhamos que temos variável aleatória distribuído como e distribuído como , em que significa distribuição uniforme no intervalo . $X_1$ $U[0,1]$ $X_2$ $U[0,X_1]$ $U[a,b]$ $[a,b]$

Eu era capaz de calcular pdf conjunto de e pdf marginal de . $(X_1,X_2)$ $X_1$

p (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{x_{1}}, for 0 \leq x_{1} \leq 1, 0 \leq x_{2} \leq x_{1},

$p(x_1,x_2) = \frac{1}{x_1}, \text{ for }\quad 0\le x_1\le 1, \quad 0\le x_2 \le x_1,$

p (x_{1}) = 1, for 0 \leq x_{1} \leq 1.

$p(x_1)= 1, \text{ for } \quad 0\le x_1\le 1.$

No entanto, ao calcular pdf marginal de , encontro um problema de limites. O resultante da integral através do marginal de é e os limites são de 0 a 1. Como não está definido para , estou enfrentando uma dificuldade. $X_2$ $X_2$ $\log(X_1)$ $\log(X_1)$ $X_1=0$

Estou errado em algum lugar? Obrigado.

pdf marginal joint-distribution

— Andre Silva
fonte

Por acaso, você quer dizer que X2 é distribuído como U [0, X1]?

— SheldonCooper 25/02

SheldonCopper: Isso está correto. Eu vou mudar isso.

1

Os limites para o marginal de

não são de 0 a 1, exceto quando

.

X_{2}

$X_2$

X_{2} = 0

$X_2 = 0$

— whuber

Obrigado whuber. Você está certo. Portanto, temos que substituir os limites da densidade marginal de X2 como X1 = X2 a X1 = 1.

3

Na integral "marginalização", o limite inferior para não é mas (devido à condição ). $x_1$ $0$ $x_2$ $0<x_2<x_1$

Portanto, a integral deve ser:

p (x_{2}) = \int p (x_{1}, x_{2}) d x_{1} = \int \frac{I (0 \leq x_{2} \leq x_{1} \leq 1)}{x_{1}} d x_{1} = \int_{x_{2}}^{1} \frac{d x_{1}}{x_{1}} = l o g (\frac{1}{x_{2}})

$p(x_2)=\int p(x_1,x_2) dx_1=\int \frac{I(0\leq x_2\leq x_1\leq 1)}{x_1} dx_1=\int_{x_2}^{1} \frac{dx_1}{x_1}=log\big(\frac{1}{x_2}\big)$

Você tropeçou, o que eu acho que é uma das partes mais difíceis das integrais estatísticas - determinar os limites da integração.

NOTA: Isso é consistente com a resposta de Henry, o meu é o PDF e o dele é o CDF. Diferenciar a resposta dele dá a minha, o que mostra que ambos estamos certos.

— probabilityislogic
fonte

Sim, eu descobri antes que você desse a resposta :) ... Obrigado.

\log (1 / x_{2}) = - \log (x_{2})

$\log (1/x_2) = - \log (x_2)$

1

$X_1$ $X_2$

$P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ $-\log(x_2)$

$P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = 1$ $x_1 \le x_2$ $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = \frac{x_2}{x_1}$ $x_2 \le x_1$

P (X_{2} \leq x_{2}) = \int_{x_{1} = 0}^{x_{2}} d x_{1} + \int_{x_{1} = x_{2}}^{1} \frac{x_{2}}{x_{1}} d x_{1}

$P(X_2 \le x_2) = \int_{x_1=0}^{x_2} dx_1 + \int_{x_1=x_2}^{1} \frac{x_2}{x_1} dx_1$

= {[x_{1}]}_{x_{1} = 0}^{x_{1} = x_{2}} + {[x_{2} \log (x_{1})]}_{x_{1} = x_{2}}^{x_{1} = 1}

$= \left[ x_1 \right]_{x_1=0}^{x_1=x_2} + \left[x_2 \log(x_1)\right]_{x_1=x_2}^{x_1=1}$

= x_{2} - 0 + x_{2} \log (1) - x_{2} \log (x_{2})

$= x_2 - 0 +x_2 \log(1) - x_2 \log(x_2)$

= x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$= x_2 (1-\log(x_2))$

— Henry
fonte

Henry: log (X1) é após integrar (mas antes de substituir limites) o marginal de X2. Seu P (X2) está errado. Acredito que você esteja integrando o log (X1) que eu disse que obtemos após a própria integração.

P (X_{2} \leq x_{2}) = x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$

0 < x_{2} < 1

$0 < x_2 < 1$

P (X_{2})

$P(X_2)$

P (X2) = int (1 / X1).

l n (X_{1})

$ln(X_1)$

X_{1} \leq 1

$X_1 \le 1$

\ln (x_{1}) \leq 0

$\ln(x_1) \le 0$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$