Como verifico se meus dados se encaixam em uma distribuição exponencial?

Como posso verificar se meus dados, por exemplo, salário, são de uma distribuição exponencial contínua em R?

Aqui está o histograma da minha amostra:

. Qualquer ajuda será muito apreciada!

Eu faria isso estimando primeiro o único parâmetro de distribuição rateusando fitdistr. Isso não informa se a distribuição se encaixa ou não, então você deve usar o teste de qualidade do ajuste . Para isso, você pode usar ks.test:

require(vcd)
require(MASS)

# data generation
ex <- rexp(10000, rate = 1.85) # generate some exponential distribution
control <- abs(rnorm(10000)) # generate some other distribution

# estimate the parameters
fit1 <- fitdistr(ex, "exponential") 
fit2 <- fitdistr(control, "exponential")

# goodness of fit test
ks.test(ex, "pexp", fit1$estimate) # p-value > 0.05 -> distribution not refused
ks.test(control, "pexp", fit2$estimate) #  significant p-value -> distribution refused

# plot a graph
hist(ex, freq = FALSE, breaks = 100, xlim = c(0, quantile(ex, 0.99)))
curve(dexp(x, rate = fit1$estimate), from = 0, col = "red", add = TRUE)

Da minha experiência pessoal (embora nunca o tenha encontrado oficialmente em nenhum lugar, confirme ou corrija-me), ks.testsó será executado se você fornecer primeiro a estimativa de parâmetros. Você não pode permitir que ele estime os parâmetros automaticamente, como por exemplo goodfit. É por isso que você precisa deste procedimento em duas etapas fitdistr.

Para mais informações siga o excelente guia de Ricci: MONTAGEM distribuições R .

Embora eu normalmente recomende verificar a exponencialidade usando gráficos de diagnóstico (como gráficos de QQ), discutirei os testes, pois as pessoas geralmente os querem:

Como sugere Tomas, o teste de Kolmogorov-Smirnov não é adequado para testar a exponencialidade com um parâmetro não especificado.

No entanto, se você ajustar as tabelas para a estimativa de parâmetros, obterá o teste de Lilliefors para a distribuição exponencial.

Lilliefors, H. (1969), "No teste de Kolmogorov-Smirnov para a distribuição exponencial com média desconhecida", Journal of the American Statistical Association , vol. 64 387-389.

O uso deste teste é discutido nas Estatísticas Não Paramétricas Práticas de Conover .

No entanto, em Goodness of Fit Techniques , de D'Agostino e Stephens , eles discutem uma modificação semelhante do teste de Anderson-Darling (um tanto obliquamente se bem me lembro bem, mas acho que todas as informações necessárias sobre como abordá-lo para o caso exponencial são encontrado no livro), e é quase certo que ele tem mais poder contra alternativas interessantes.

Da mesma forma, pode-se estimar algo como um teste de Shapiro-Francia (semelhante a, mas mais simples que o Shapiro-Wilk), baseando-se em que é a correlação entre as estatísticas da ordem e as pontuações exponenciais ( estatísticas de ordem exponencial esperada). Isso corresponde ao teste da correlação no gráfico QQ.$n(1-r^2)$$r$

Finalmente, pode-se adotar a abordagem de teste suave , como no livro de Rayner & Best ( Smooth Tests of Goodness of Fit , 1990 - embora eu acredite que exista uma mais recente, com Thas e " in R " adicionado ao título). O caso exponencial também é abordado em:

JCW Rayner e DJ Best (1990), "Smooth Testes of Goodness of Fit: An Overview", International Statistical Review , vol. 58, nº 1 (abril de 1990), pp. 9-17

Cosma Shalizi também discute testes suaves em um capítulo de suas notas de aula de Análise Avançada de Dados em Graduação , ou veja o Capítulo 15 de seu livro Análise Avançada de Dados de um Ponto de Vista Elementar .

Para algumas das opções acima, pode ser necessário simular a distribuição da estatística de teste; para outras tabelas, estão disponíveis (mas, em alguns casos, pode ser mais fácil simular de qualquer maneira, ou ainda mais preciso simular a si mesmo, como no teste de Lilliefors, devido ao tamanho limitado da simulação no original).

Entre todas, eu me inclinaria a fazer o equivalente exponencial ao Shapiro-Francia (ou seja, testaria a correlação no gráfico QQ [ou, se estivesse fazendo tabelas, talvez use , que rejeitará os mesmos casos] - deve ser poderoso o suficiente para ser competitivo com os melhores testes, mas é muito fácil de fazer e tem uma correspondência agradável com a aparência visual do gráfico QQ (pode-se até escolha adicionar a correlação e o valor p ao gráfico, se desejar).$n(1-r^2)$

Você pode usar um gráfico qq , que é um método gráfico para comparar duas distribuições de probabilidade, plotando seus quantis uns contra os outros.

Em R, não há função qq-plot pronta para uso para a distribuição exponencial especificamente (pelo menos entre as funções base). No entanto, você pode usar isso:

qqexp <-  function(y, line=FALSE, ...) { 
    y <- y[!is.na(y)]
    n <- length(y)
    x <- qexp(c(1:n)/(n+1))
    m <- mean(y)
    if (any(range(y)<0)) stop("Data contains negative values")
    ylim <- c(0,max(y))
    qqplot(x, y, xlab="Exponential plotting position",ylim=ylim,ylab="Ordered sample", ...)
    if (line) abline(0,m,lty=2)
    invisible()
  }

Ao interpretar seus resultados: Se as duas distribuições comparadas forem semelhantes, os pontos no gráfico qq estarão aproximadamente na linha y = x. Se as distribuições estiverem linearmente relacionadas, os pontos no gráfico qq ficarão aproximadamente em uma linha, mas não necessariamente na linha y = x.