Por que a distribuição de rand () ^ 2 é diferente de rand () * rand ()?

No Libre Office Calc, a rand()função está disponível, que escolhe um valor aleatório entre 0 e 1 de uma distribuição uniforme. Estou um pouco enferrujado com a minha probabilidade, então, quando vi o seguinte comportamento, fiquei perplexo:

A = Coluna 200x1 de rand()^2

B = Coluna 200x1 de rand()*rand()

mean(A) = 1/3

mean(B) = 1/4

Por que é mean(A)! = 1/4?

expected-value random-generation uniform

— Jefftopia
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Porque a expectativa do quadrado de uma variável aleatória não é igual ao quadrado da sua expectativa.

— Michael M

Se rand()opera como outros operadores semelhantes, A é o mesmo número aleatório ao quadrado e B é dois números aleatórios, multiplicados.

— Peter Flom - Restabelece Monica

Compreendo. Seria muito útil, se eu pudesse ver a matemática explicitada, ou vinculada a um recurso que faz isso.

— 101313 Jefftopia

Simplificar a situação pode ajudá-lo a entender o ponto. Suponha que Rand()foram substituídos por Int(2*Rand()): assume os valores e com probabilidades iguais. Existem duas possibilidades para seu quadrado e quatro possibilidades para o produto de dois valores (independentes): o que acontece quando você calcula as expectativas deles?

0

$0$

1

$1$

— whuber

Respostas:

Pode ser útil pensar em retângulos. Imagine que você tem a chance de obter terras de graça. O tamanho da terra será determinado por (a) uma realização da variável aleatória ou (b) duas realizações da mesma variável aleatória. No primeiro caso (a), a área será um quadrado com o comprimento lateral igual ao valor amostrado. No segundo caso (b), os dois valores amostrados representarão a largura e o comprimento de um retângulo. Qual alternativa você escolhe?

Seja a realização de uma variável aleatória positiva. $\mathbf{U}$

a) O valor esperado de uma realização determina a área do quadrado que é igual a . Em média, o tamanho da área será $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}^2$

E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

b) Se houver duas realizações independentes e , a área será . Em média, o tamanho é igual a uma vez que ambas as realizações são da mesma distribuição e independente. $\mathbf{U}_1$ $\mathbf{U}_2$ $\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

E [U_{1} \cdot U_{2}] = E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Quando calculamos a diferença entre o tamanho das áreas a) eb), obtemos

E [{você}^{2}] - E^{2} [você]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

O termo acima é idêntico a que é inerentemente maior ou igual a . $\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$ $0$

Isso vale para o caso geral.

No seu exemplo, você fez uma amostra da distribuição uniforme . Conseqüentemente, $\mathcal{U}(0,1)$

E [você] = \frac{1}{2}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$

E^{2} [você] = \frac{1}{4}

$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$

V uma r [você] = \frac{1}{12}

$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

E [{você}^{2}] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$

Esses valores foram derivados analiticamente, mas correspondem aos que você obteve com o gerador de números aleatórios.

— Sven Hohenstein
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a

$a$

b

$b$

\frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3}

$\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$

Esse é um uso inteligente da variação. E aqui eu estava prestes a fazer a matemática diretamente.

— Afine

Isso faz sentido para mim. Tudo depende da variação não ser negativa. Também estou curioso para saber como John conseguiu sua resposta.

— Jefftopia

Basicamente, apenas seguimos o que Sven fez, mas as substituiu pelas fórmulas para uma distribuição uniforme mais geral.

— John

E [U^{2}] - E [U^{2}]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$

E [U^{2}] - E^{2} [U]

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

Para não sugerir que haja algo faltando na excelente resposta de Sven, mas eu queria apresentar uma abordagem relativamente elementar à pergunta.

Considere plotar os dois componentes de cada produto para verificar se a distribuição conjunta é muito diferente.

enredo de u1 vs u2 e u1 vs u1

Observe que o produto tende a ser grande (quase 1) quando os dois componentes são grandes, o que acontece com muito mais facilidade quando os dois componentes estão perfeitamente correlacionados, em vez de independentes.

$1-\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon/2$ $U^2$ $U_1\times U_2$ $\epsilon^2/2$

Quanta diferença!

Pode ser útil desenhar contornos de produtos iso em gráficos como os acima - ou seja, curvas em que xy = constante para valores como 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. À medida que você vai para valores cada vez maiores, a proporção de pontos acima e à direita do contorno diminui muito mais rapidamente no caso independente.

— Glen_b -Reinstate Monica
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