Distribuição Weibull v / s Distribuição Gama

Qual é a diferença entre a intuição por trás das distribuições Gamma e Weibull? Existe alguma relação entre as duas densidades?

Por favor, ajude.

gamma-distribution weibull

— Vani
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As distribuições gama e Weibull podem ser vistas como generalizações da distribuição exponencial. Se considerarmos a distribuição exponencial como descrevendo o tempo de espera de um processo de Poisson (o tempo que temos que esperar até que um evento aconteça, se esse evento tiver a mesma probabilidade de ocorrer em qualquer intervalo de tempo), então distribuição descreve o tempo que temos para aguardar a ocorrência de eventos independentes. $\Gamma(k, \theta)$ $k$

Por outro lado, a distribuição Weibull descreve efetivamente o tempo que temos para esperar que um evento ocorra, se esse evento se tornar mais ou menos provável com o tempo. Aqui, o parâmetro descreve a rapidez com que a probabilidade aumenta (proporcional a ). $k$ $t^{k-1}$

Podemos ver a diferença de efeito observando os pdfs das duas distribuições. Ignorando todas as constantes de normalização:

f_{Γ} (x) \propto x^{k - 1} \exp (- \frac{x}{θ}) f_{W} (x) \propto x^{k - 1} \exp (- {(\frac{x}{λ})}^{k})

$f_{\Gamma}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\frac{x}{\theta}\right) \\ f_{W}(x) \propto x^{k-1} \exp\left(-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right)$

Como você pode ver, o pdf da distribuição Weibull cai muito mais rapidamente (para ) ou lentamente (para ) do que a distribuição gama. No caso em que , ambos se reduzem à distribuição exponencial. $k > 1$ $k < 1$ $k = 1$

— Martin O'Leary
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Isso é muito útil! Naturalmente, ambas as distribuições são frequentemente usadas para variáveis diferentes do tempo de espera, para que a derivação e a motivação possam ser muito diferentes. Em uma nota diferente, Weibull e Poisson merecem suas capitais iniciais porque são nomeadas em homenagem às pessoas, mas muitas (eu arriscaria a maioria) discussões de exponencial e gama não usam maiúsculas iniciais.

— Nick Cox

Corrigida a capitalização - eu estava cansado quando escrevi a resposta, e o OP tinha capitalizado Gamma, então eu corri com ela. É claro que você está certo de que nem todo uso dessas distribuições é um tempo de espera, mas acho que isso fornece a melhor intuição. Se houver outra boa maneira de pensar sobre isso, eu adoraria ouvir.

— Martin O'Leary

Não tenho uma história geral melhor! A capitalização (por exemplo, gama / gama) é naturalmente uma questão de convenção quando os sobrenomes não estão envolvidos.

— Nick Cox