Teste de independência vs teste de homogeneidade

Estou ministrando um curso básico de estatística e hoje cobrirei o teste do qui-quadrado de independência para duas categorias e o teste de homogeneidade. Esses dois cenários são conceitualmente diferentes, mas podem usar a mesma estatística e distribuição de teste. Em um teste de homogeneidade, presume-se que totais marginais para uma das categorias fazem parte do próprio design - eles representam o número de sujeitos selecionados para cada grupo experimental. Mas como o teste qui-quadrado gira em torno do condicionamento em todos os totais marginais, não há consequências matemáticas para distinguir entre testes de homogeneidade e testes de independência com dados categóricos - pelo menos nenhum quando esse teste é usado.

Minha pergunta é a seguinte: existe alguma escola de pensamento estatístico ou abordagem estatística que produza análises diferentes, dependendo se estamos testando a independência (onde todos os marginais são variáveis ​​aleatórias) ou um teste de homogeneidade (onde um conjunto de marginais é definido pelo design)?

No caso contínuo, diga onde observamos sobre o mesmo assunto e testamos a independência ou observamos (X_1, X_2) em diferentes populações e testamos se eles vêm da mesma distribuição, o método é diferente (correlação análise vs teste t). E se os dados categóricos vierem de variáveis ​​contínuas discretizadas? Os testes de independência e homogeneidade devem ser indistinguíveis?$(X,Y)$$(X_1, X_2)$

Você simplesmente precisa se perguntar: "Como escrevo a hipótese nula?". Considere uma tabela de contingência de frequências de algum comportamento (s / n) entre um número de grupos. Ao tratar o 1º grupo como referente, você tem razões de chances ( ) que descrevem a associação entre frequência e grupo.$2 \times k$$k$$k-1$$\theta_i, i = 1, 2, \ldots, k-1$

Sob independência, como na homogeneidade, você assume que todas as razões de chances são 1. Ou seja, a probabilidade de responder "sim" à condição é igualmente provável, independentemente da atribuição do grupo. Se essas suposições falharem, pelo menos um grupo é diferente.

$\mathcal{H}_0(\mbox{homogeneity}): \sum_{i=1}^{k-1} |\theta_i| = 0$

$\mathcal{H}_0(\mbox{independence}): \sum_{i=1}^{k-1} |\theta_i| = 0$

E esse teste pode ser realizado com o teste do qui-quadrado de Pearson usando frequências observadas / esperadas, que é o teste de pontuação para o modelo de regressão logística que ajusta as variáveis ​​do indicador para a participação no grupo. Então, estruturalmente, podemos dizer que esses testes são os mesmos.$k-1$

No entanto, surgem diferenças quando consideramos a natureza do fator de agrupamento. Nesse sentido, a aplicação contextual do teste, ou melhor, seu nome, é importante. Um grupo pode ser diretamente causal de um resultado, como a presença ou ausência de um gene ou alelo de um traço; nesse caso, quando rejeitamos o nulo, concluímos que o resultado depende do fator de agrupamento em questão.

Por outro lado, quando testamos a homogeneidade, nos exoneramos de fazer quaisquer suposições causais. Assim, quando o "grupo" é um construto sofisticado, como raça (que causa e é causado por determinantes genéticos, comportamentais e socioeconômicos), podemos tirar conclusões como "minorias étnico-raciais experimentam disparidades habitacionais, como evidenciado pela heterogeneidade no índice de privação de vizinhança" . Se alguém contestasse tal argumento dizendo: "bem, porque as minorias alcançam uma educação inferior, ganham menos renda e ganham menos emprego", você poderia dizer: "Eu não afirmei que a raça deles causou essas coisas, apenas que, se você olhar na corrida de alguém, você pode fazer previsões sobre sua condição de vida ".

Dessa forma, os testes de dependência são um caso especial de testes de homogeneidade, onde o possível efeito de fatores ocultos é de interesse e deve ser tratado em uma análise estratificada. O uso de ajustes multivariados no modelo de regressão logística análogo alcança tal coisa, e ainda podemos dizer que estamos realizando um teste de dependência, mas não necessariamente homogeneidade.

Há uma clara diferença entre os dois problemas se você os modelar da maneira bayesiana. Em alguns trabalhos, o primeiro caso (homogeneidade) é chamado de amostragem com "uma margem fixa" e o segundo caso (independência) como "tabela total fixa". Veja, por exemplo, Casella et al. (JASA 2009) .
Estou trabalhando neste tópico, mas meu artigo - que também descreve essa distinção - ainda não foi publicado :)