Como saber se meus dados se encaixam na distribuição Pareto?

Eu tenho uma amostra que é um vetor com 220 números. Aqui está um link para um histograma dos meus dados. . E desejo verificar se meus dados se encaixam em uma distribuição de Pareto, mas não quero ver gráficos de QQ com essa distribuição, mas preciso de uma resposta exata com valor-p em R, como o teste de Anderson-Darling para normalidade ( ad.test) . Como eu pude fazer isso? Por favor, seja o mais específico possível.

(PS) Antes de tudo, acho que Glen_b está certo nos comentários acima sobre a utilidade de um teste: dados reais certamente não são exatamente distribuídos por Pareto, e para aplicações mais práticas a pergunta seria "quão boa é a aproximação de Pareto?" - e o gráfico QQ é uma boa maneira de mostrar a qualidade dessa aproximação.

De qualquer forma, você pode fazer seu teste com a estatística Kolmogorov-Smirnov, depois de estimar os parâmetros por máxima verossimilhança. Essa estimativa de parâmetro impede o uso do valor- de , portanto, você pode executar o bootstrap paramétrico para estimar. Como Glen_b diz no comentário, isso pode ser conectado ao teste de Lilliefors .$p$ks.test

Aqui estão algumas linhas de código R.

Primeiro defina as funções básicas para lidar com as distribuições de Pareto.

# distribution, cdf, quantile and random functions for Pareto distributions
dpareto <- function(x, xm, alpha) ifelse(x > xm , alpha*xm**alpha/(x**(alpha+1)), 0)
ppareto <- function(q, xm, alpha) ifelse(q > xm , 1 - (xm/q)**alpha, 0 )
qpareto <- function(p, xm, alpha) ifelse(p < 0 | p > 1, NaN, xm*(1-p)**(-1/alpha))
rpareto <- function(n, xm, alpha) qpareto(runif(n), xm, alpha)

A função a seguir calcula o MLE dos parâmetros (justificativas na Wikipedia ).

pareto.mle <- function(x)
{
  xm <- min(x)
  alpha <- length(x)/(sum(log(x))-length(x)*log(xm))
  return( list(xm = xm, alpha = alpha))
}

$p$

pareto.test <- function(x, B = 1e3)
{
  a <- pareto.mle(x)

  # KS statistic
  D <- ks.test(x, function(q) ppareto(q, a$xm, a$alpha))$statistic

  # estimating p value with parametric bootstrap
  B <- 1e5
  n <- length(x)
  emp.D <- numeric(B)
  for(b in 1:B)
  {
    xx <- rpareto(n, a$xm, a$alpha);
    aa <- pareto.mle(xx)
    emp.D[b] <- ks.test(xx, function(q) ppareto(q, aa$xm, aa$alpha))$statistic
  }

  return(list(xm = a$xm, alpha = a$alpha, D = D, p = sum(emp.D > D)/B))
}

Agora, por exemplo, uma amostra proveniente de uma distribuição de Pareto:

> # generating 100 values from Pareto distribution
> x <- rpareto(100, 0.5, 2)
> pareto.test(x)
$xm
[1] 0.5007593

$alpha
[1] 2.080203

$D
         D 
0.06020594 

$p
[1] 0.69787

$\chi^2(2)$

> # generating 100 values from chi square distribution
> x <- rchisq(100, df=2)
> pareto.test(x)
$xm
[1] 0.01015107

$alpha
[1] 0.2116619

$D
        D 
0.4002694 

$p
[1] 0

Note que não afirmo que este teste seja imparcial: quando a amostra é pequena, pode existir algum viés. O bootstrap paramétrico não leva bem em conta a incerteza na estimativa do parâmetro (pense no que aconteceria ao usar essa estratégia para testar ingenuamente se a média de alguma variável normal com variação desconhecida é zero).

PS Wikipedia diz algumas palavras sobre isso. Aqui estão duas outras perguntas para as quais uma estratégia semelhante foi sugerida: Teste de qualidade do ajuste para uma mistura , teste de qualidade do ajuste para uma distribuição gama .