Distribuição da soma dos quadrados das variáveis ​​aleatórias distribuídas em T

Eu estou olhando para a distribuição da soma dos quadrados das variáveis ​​aleatórias distribuídas em T, com expoente de cauda . Onde X é o rv, a transformação de Fourier para , fornece uma solução para o quadrado antes da convolução . X 2 F ( t ) F ( t ) n F ( t ) = ∫ ∞ 0 exp ($\alpha$$X^2$$\mathscr{F}(t)$$\mathscr{F}(t)^n$

Com , a solução é possível, mas pesada e impossível de se inverter para fazer um Fourier inverso para . Portanto, a pergunta é: foi realizado um trabalho sobre a distribuição da variação da amostra ou desvio padrão das variáveis ​​aleatórias distribuídas em T? (Seria para o StudentT o que o qui-quadrado é para o gaussiano). Obrigado.F ( t ) $\alpha=3$$\mathscr{F}(t)^n$

(Solução possível) Eu descobri que é Fisher distribuído, portanto, veremos a soma das variáveis ​​distribuídas de Fisher. F ( 1 , α $X^2$$F(1,\alpha)$

(Solução possível) A partir das funções características da média de resumiu tem os mesmos dois primeiros momentos de um de distribuição, quando estes existem. Portanto, com a raiz quadrada e fazendo uma mudança de variável dentro de uma distribuição de probabilidade, a densidade do desvio padrão das variáveis ​​T da n-amostra pode ser aproximada com: $n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

Um esclarecimento de sua pergunta (parece-me haver duas partes relacionadas, mas diferentes): você está procurando (1) distribuição de uma soma de variáveis quadráticas independentes independentes t_ e (2) a amostragem distribuição da variância (ou desvio padrão relacionado) de uma amostra aleatória retirada de uma distribuição (presumivelmente o seu motivo para perguntar sobre (1)).$n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

Distribuição da soma das variáveis quadráticas independentes$t_{\alpha }$

Se são variáveis aleatórias (independentes) com df, é falso que (que é o que você parece reivindicar em sua segunda "solução possível"). Isso é facilmente verificado considerando o primeiro momento de cada um (o primeiro momento do último é vezes o primeiro). $T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

A afirmação em sua primeira "solução possível" está correta: . Em vez de recorrer a funções características, acho que esse resultado é mais transparente ao considerar a caracterização da distribuição como a distribuição da razão que é uma variável normal padrão e é uma variável do qui-quadrado com graus de liberdade, independentes de . O quadrado dessa razão é, então, a razão de duas variáveis ​​independentes do qui-quadrado, escaladas por seus respectivos graus de liberdade, isto é, com$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$, que é uma caracterização padrão de uma distribuição (com o numerador df igual a 1 e o denominador df igual a ).$F(1,\alpha)$$\alpha$

Considerando a observação que fiz nos primeiros momentos do primeiro parágrafo acima, pode parecer que uma afirmação melhor pode ser que [Eu tenho notação levemente abusada aqui, usando a mesma expressão para a distribuição, bem como uma variável aleatória com essa distribuição.]. Enquanto os primeiros momentos coincidem, os segundos momentos centrais não (para a variação da primeira expressão é menor que a variação da última expressão) - portanto, essa afirmação também é falsa. [Dito isto, é interessante observar que , que é o resultado que esperamos ao somar ao quadrado (padrão) variáveis ​​normais.]$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$

Amostragem de distribuição de variação ao amostrar de uma distribuição$t_{\alpha }$

Considerando o que escrevi acima, a expressão que você obtém para "a densidade do desvio padrão das variáveis ​​T da n-amostra" está incorreta. No entanto, mesmo que sido a distribuição correta, o desvio padrão não é simplesmente a raiz quadrada da soma dos quadrados (como você parece ter usado para chegar à sua densidade ). Em vez disso, você procuraria a distribuição de amostragem (em escala) de . No caso normal, o LHS dessa expressão pode ser reescrito como uma soma de variáveis ​​normais ao quadrado (o termo dentro do quadrado pode ser reescrito como uma combinação linear de variáveis ​​normais que é novamente normalmente distribuída), o que leva à familiar$F(n,\alpha)$$g(u)$χ 2 t $\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$ . Infelizmente, uma combinação linear de variáveis (mesmo com os mesmos graus de liberdade) não é distribuída como , portanto, uma abordagem semelhante não pode ser explorada.$t$$t$

Talvez você deva reconsiderar o que deseja demonstrar? Pode ser possível alcançar o objetivo usando algumas simulações, por exemplo. No entanto, você indica um exemplo com , uma situação em que apenas o primeiro momento de é finito; portanto, a simulação não ajudará nos cálculos desse momento. F ( 1 , α $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

Você pode conferir a distribuição T da Hotelling ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling's_T-squared_distribution ). Há relações com sendo uma distribuição ( http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distributions_and_properties ), mas não tenho certeza se é exatamente isso que você está pedindo. $T^2$$F$