Maneira apropriada de lidar com uma tabela de contingência de três níveis

Eu tenho uma tabela de contingência de três níveis, com dados de contagem de várias espécies, a planta hospedeira da qual elas foram coletadas e se essa coleta ocorreu em um dia chuvoso (isso realmente importa!). Usando R, dados falsos podem ser algo assim:

count    <- rpois(8, 10)
species  <- rep(c("a", "b"), 4)
host     <- rep(c("c","c", "d", "d"), 2)
rain     <- c(rep(0,4), rep(1,4))
my.table <- xtabs(count ~ host + species + rain)


, , rain = 0

    species
host  a  b
   c 12 15
   d 10 13

, , rain = 1

    species
host  a  b
   c 11 12
   d 12  7

Agora, quero saber duas coisas: as espécies estão associadas às plantas hospedeiras? "Chover ou não" afeta essa associação? Eu usei loglm()a partir MASSpara isso:

 # Are species independent to host plants, given the effect of rain?
loglm(~species + host + rain + species*rain + host*rain, data=my.table)

 # Given any relationship between host plants and species, does rain change it?
loglm(~species + host + rain + species*host)

Isso está um pouco fora do meu nível de conforto e eu queria verificar se havia configurado os modelos corretamente e se essa era a melhor maneira de abordar essas questões.

Há duas maneiras de interpretar sua primeira pergunta, que se refletem nas duas maneiras que você fez: "As espécies estão associadas às plantas hospedeiras?" e "As espécies são independentes das plantas hospedeiras, dado o efeito da chuva?"

A primeira interpretação corresponde a um modelo de independência conjunta , que afirma que espécies e hospedeiros são dependentes, mas conjuntamente independentes de chover:

$\quad p_{shr} = p_{sh} p_r$

$p_{shr}$$(s,h,r)$$s$$h$$r$$p_{sh}$$(s,h,\cdot)$$p_r$

A segunda interpretação corresponde a um modelo de independência condicional , que afirma que espécies e hospedeiros são independentes, independentemente de chover:

$\quad p_{sh|r} = p_{s|r}p_{h|r}$$p_{shr} = p_{sr}p_{hr} / p_r$

$p_{sh|r}$$(s,h,r)$ célula, dado um valor de $r$.

Você pode testar esses modelos em R ( loglintambém funcionaria bem, mas estou mais familiarizado glm):

count <- c(12,15,10,13,11,12,12,7)
species <- rep(c("a", "b"), 4)
host <- rep(c("c","c", "d", "d"), 2)
rain <- c(rep(0,4), rep(1,4))
my.table <- xtabs(count ~ host + species + rain)
my.data <- as.data.frame.table(my.table)
mod0 <- glm(Freq ~ species + host + rain, data=my.data, family=poisson())
mod1 <- glm(Freq ~ species * host + rain, data=my.data, family=poisson())
mod2 <- glm(Freq ~ (species + host) * rain, data=my.data, family=poisson())
anova(mod0, mod1, test="Chi") #Test of joint independence
anova(mod0, mod2, test="Chi") #Test of conditional independence

Acima, mod1corresponde à independência conjunta e mod2à independência condicional, enquanto mod0corresponde a um modelo de independência mútua$p_{shr} = p_s p_h p_r$. Você pode ver as estimativas de parâmetros usando summary(mod2), etc. Como sempre, verifique se as suposições do modelo são atendidas. Nos dados que você forneceu, o modelo nulo realmente se encaixa adequadamente.

Uma maneira diferente de abordar sua primeira pergunta seria executar o teste exato de Fischer ( fisher.test(xtabs(count ~ host + species))) na tabela 2x2 recolhida (primeira interpretação) ou o teste de Mantel-Haenszel ( mantelhaen.test(xtabs(count ~ host + species + rain))) para tabelas 2x2 estratificadas ou escrever um teste de permutação que respeite a estratificação (segunda interpretação).

Parafraseando sua segunda pergunta, a relação entre espécies e hospedeiro depende se choveu?

mod3 <- glm(Freq ~ species*host*rain - species:host:rain, data=my.data, family=poisson())
mod4 <- glm(Freq ~ species*host*rain, data=my.data, family=poisson())
anova(mod3, mod4, test=”Chi”)
pchisq(deviance(mod3), df.residual(mod3), lower=F)

O modelo completo mod4está saturado, mas você pode testar o efeito em questão observando o desvio de mod3como fiz acima.

A regressão logística parece apropriada para o seu problema. A variável que você está tentando prever é a probabilidade de uma observação (que é da espécie A ou da espécie B) ser da espécie A. As covariáveis ​​são$host$, $rain$ e opcionalmente $host*rain$.

O comando R seria:

glm (fórmula = espécie ~ hospedeiro + chuva, família = binomial (logit), pesos = contagens)

e você estará interessado no $p$-valores das encostas. Lembre-se de que você está testando várias hipóteses.

Inicialmente, sugeri tentar uma das técnicas de ordenação restrita do veganpacote, mas, pensando bem, duvido que isso seja útil, pois você realmente tem duas tabelas de contingência. Espero que a segunda parte deste exemplo [PDF: R Demonstration - Categorical Analysis] seja útil.