Comparando a variação das observações emparelhadas

Tenho observações emparelhadas ( X i , Y $N$$X_i$$Y_i$ ) tirada a partir de uma distribuição desconhecido comum, que tem finitos primeiro e segundo momentos, e é simétrica em torno da média.

Deixe o desvio padrão de X (incondicional em Y ) e σ Y o mesmo para Y. Gostaria de testar a hipótese $\sigma_X$$X$$Y$$\sigma_Y$

: σ X = σ $H_0$$\sigma_X = \sigma_Y$

: σ X ≠ σ $H_1$$\sigma_X \neq \sigma_Y$

Alguém conhece esse teste? Na primeira análise, posso assumir que a distribuição é normal, embora o caso geral seja mais interessante. Estou procurando uma solução de formulário fechado. Bootstrap é sempre o último recurso.

Você pode usar o fato de que a distribuição da variação da amostra é uma distribuição qui-quadrado centrada na variação verdadeira. Sob sua hipótese nula, sua estatística de teste seria a diferença de duas variáveis ​​aleatórias ao quadrado do chi, centradas na mesma variância verdadeira desconhecida. Não sei se a diferença de duas variáveis ​​aleatórias qui-quadrado é uma distribuição identificável, mas as opções acima podem ajudá-lo até certo ponto.

Se você deseja seguir a rota não-paramétrica, sempre pode tentar o teste de classificações quadradas.

Para o caso não emparelhado, as suposições para este teste (extraídas daqui ) são:

1. Ambas as amostras são amostras aleatórias de suas respectivas populações.
2. Além da independência dentro de cada amostra, há independência mútua entre as duas amostras.
3. A escala de medição é pelo menos intervalo.

Essas notas de aula descrevem o caso não emparelhado em detalhes.

Para o caso emparelhado, você precisará alterar um pouco esse procedimento. No meio desta página , você deve ter uma idéia de por onde começar.

A abordagem mais ingénuo I pode pensar é a regredir vs X i como Y i ~ m X i + b , em seguida, executar uma t -test na hipótese m = 1 . Consulte o teste t para obter a inclinação da regressão .$Y_i$$X_i$$Y_i \sim \hat{m}X_i + \hat{b}$$t$$m = 1$

Uma abordagem menos ingênua é o teste de Morgan-Pitman. Seja seguida , execute um teste do coeficiente de correlação de Pearson de U i vs V i . (É possível fazer isso simplesmente usando a transformação Fisher RZ , que fornece os intervalos de confiança em torno do coeficiente de Pearson da amostra ou por meio de um bootstrap.)$U_i = X_i - Y_i, V_i = X_i + Y_i,$$U_i$$V_i$

Se você estiver usando R e não quiser codificar tudo sozinho, eu usaria o bootdpcipacote Wilcox 'Robust Stats, WRS. (veja a página de Wilcox .)

Se você puder assumir a normalidade bivariada, poderá desenvolver um teste de razão de verossimilhança comparando as duas estruturas possíveis da matriz de covariância. As estimativas de verossimilhança máxima sem restrições (H_a) são bem conhecidas - apenas a matriz de covariância da amostra, as restritas (H_0) podem ser derivadas escrevendo a probabilidade (e provavelmente será algum tipo de estimativa "combinada").

Se você não deseja derivar as fórmulas, pode usar SAS ou R para ajustar um modelo de medidas repetidas com estruturas de covariância de simetria não estruturada e composta e comparar as probabilidades.

A dificuldade vem claramente porque e Y são correlacionados (suponho que ( X , Y ) sejam conjuntamente gaussianos, como Aniko) e você não pode fazer a diferença (como na resposta de @ svadali) ou uma proporção (como no Standard Fisher-Snedecor "Teste-F") porque esses seriam de distribuição χ 2 dependente e porque você não sabe qual é essa dependência que dificulta derivar a distribuição sob H 0 .$X$$Y$$(X,Y)$$\chi^2$$H_0$

Minha resposta se baseia na Equação (1) abaixo. Como a diferença de variância pode ser fatorada com uma diferença de autovalores e uma diferença de ângulo de rotação, o teste de igualdade pode ser declinado em dois testes. Eu mostro que é possível usar o teste de Fisher-Snedecor juntamente com um teste na encosta como o sugerido por @shabbychef devido a uma propriedade simples de vetores gaussianos 2D.

$i=1,2$ $(Z^i_{1},\dots,Z^i_{n_i} )$$\hat{\lambda}^2_i$$\lambda^2_i$$\lambda_1=\lambda_2$

$$R=\frac{\hat{\lambda}_X^2}{\hat{\lambda}_Y^2}$$ follows a Fisher-Snedecor distribution $F(n_1-1,n_2-1)$

A simple property of 2D gaussian vector Let us denote by

$$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$$ It is clear that there exists $\lambda_1,\lambda_2>0$ $\epsilon_1$, $\epsilon_2$ two independent gaussian $\mathcal{N}(0,\lambda_i^2)$ such that

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = R(\theta)\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \end{bmatrix}$$ and that we have $$Var(X)-Var(Y)=(\lambda_1^2-\lambda_2^2)(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta) \;\; [1]$$

Testing of $Var(X)=Var(Y)$ can be done through testing if ( $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ or $\theta=\pi/4 \; mod \; [\pi/2]$)

Conclusion (Answer to the question) Testing for $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ is easely done by using ACP (to decorrelate) and Fisher Scnedecor test. Testing $\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]$ is done by testing if $|\beta_1|=1$ in the linear regression $Y=\beta_1 X+\sigma\epsilon$ (I assume $Y$ and $X$ are centered).

Testing wether $\left ( \lambda_1^2=\lambda_2^2 \text{ or }\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]\right )$ at level $\alpha$ is done by testing if $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ at level $\alpha/3$ or if $|\beta_1|=1$ at level $\alpha/3$.