Se as distribuições com os mesmos momentos são idênticas

A seguir, são semelhantes, mas diferentes dos posts anteriores, aqui e aqui

Dadas duas distribuições que admitem momentos de todas as ordens, se todos os momentos de duas distribuições são iguais, então são distribuições idênticas ae?
Dadas duas distribuições que admitem funções geradoras de momentos, se elas tiverem os mesmos momentos, elas são iguais?

De acordo com a pergunta 2, acredito que em geral, se duas funções tiverem o mesmo MGF (se existir em uma vizinhança aberta de 0), elas seguirão a mesma distribuição. Infelizmente, não conheço a prova, pois é bastante complexa. Espero que ajude um pouco.

— Nicefella 03/02

@nicefella A prova é relativamente fácil: avaliar o MGF em valores imaginários fornece a função característica que pode ser invertida para produzir a distribuição. Os trabalhos de inversão, desde que o MGF seja analítico em uma vizinhança de origem.

— whuber

Deixe-me responder na ordem inversa:

2. sim Se os MGFs existirem, eles serão os mesmos *.

veja aqui e aqui por exemplo

De fato, decorre do resultado que você fornece no post de onde vem; se o MGF ** determinar exclusivamente a distribuição e duas distribuições tiverem MGFs e elas tiverem a mesma distribuição, elas deverão ter o mesmo MGF (caso contrário, você teria um contra-exemplo de 'MGFs determina exclusivamente distribuições').

* para determinados valores 'iguais', devido a essa frase 'quase todos os lugares'

** " quase todos os lugares "

Não - já que existem contra-exemplos.

Kendall e Stuart listam uma família de distribuição contínua (possivelmente devido a Stieltjes ou alguém dessa safra, mas minha lembrança não é clara, faz algumas décadas) que têm sequências de momentos idênticas e ainda são diferentes.

O livro de Romano e Siegel (contra-exemplos em probabilidade e estatística) lista contra-exemplos nas seções 3.14 e 3.15 (páginas 48-49). (Na verdade, olhando para eles, acho que os dois estavam em Kendall e Stuart.)

Romano, JP e Siegel, AF (1986),
Contra-exemplos em Probabilidade e Estatística.
Boca Raton: Chapman e Hall / CRC.

Para 3.15, eles creditam Feller, 1971, p227

Esse segundo exemplo envolve a família de densidades

f (x; α) = \frac{1}{24} \exp (- x^{1 / 4}) [1 - α \sin (x^{1 / 4})], x > 0; 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

As densidades diferem à medida que muda, mas as seqüências de momento são as mesmas. $\alpha$

$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

e, em seguida, mostrando que a segunda parte contribui com 0 para cada momento, para que sejam todos iguais aos momentos da primeira parte.

$\alpha=0$ $\alpha=0.5$

exemplo dos mesmos momentos, densidades diferentes

Melhor ainda, talvez, ter tomado um alcance muito maior e usado uma escala de quarta raiz no eixo x, tornando a curva azul reta, e a verde se movendo como uma curva de pecado acima e abaixo dela, algo assim:

insira a descrição da imagem aqui

As oscilações acima e abaixo da curva azul - de magnitude maior ou menor - acabam deixando todos os momentos inteiros positivos inalterados.

$X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

Obrigado! Na sua resposta à minha segunda pergunta, o que significa "para certos valores de 'igual'"? Você pode dar contra-exemplos à minha primeira pergunta?

— StackExchange for All

É simplesmente uma referência à qualificação necessária causada pelo 'quase todo lugar' que está na pergunta anterior. Assim, os contra-exemplos poderiam observar funções de densidade que eram iguais quase em toda parte, mas diferiam em um subconjunto contável de pontos - eu já lhe dei um exemplo anteriormente.

— Glen_b -Reinstala Monica

Para minha primeira pergunta (de acordo com a sua resposta sim à minha segunda pergunta e à minha pergunta no post anterior), todos os contraexemplos pertencem ao caso em que as duas distribuições não admitem funções geradoras de momento?

— StackExchange for All

O fato de ser assim é uma conseqüência da afirmação "Se o mgf é finito em um intervalo aberto contendo zero, a distribuição associada é caracterizada por seus momentos" na resposta do cardeal que acredito ter vinculado. Se um mgf não é finito nesse sentido, essa é a única maneira de a distribuição não ser caracterizada por seus momentos.

— Glen_b -Reinstala Monica

A primeira pergunta foi respondida em stats.stackexchange.com/questions/25010/… e na pergunta recente do OP em stats.stackexchange.com/questions/84158/… . O exemplo de Feller é atribuído a Stieltjes (muito antes da época de Feller) em Stuart & Ord.

— whuber