Estimativa do parâmetro de probabilidade de log para o filtro linear gaussiano de Kalman

Eu escrevi algum código que pode fazer a filtragem Kalman (usando vários filtros do tipo Kalman [Information Filter et al.]) Para a Análise Linear Gaussiana de Espaço de Estado para um vetor de estado n-dimensional. Os filtros funcionam muito bem e estou obtendo uma saída agradável. No entanto, a estimativa de parâmetros via estimativa de probabilidade de logon está me confundindo. Eu não sou um estatístico, mas um físico, então, por favor, seja gentil.

Vamos considerar o modelo linear do espaço de estados gaussiano

$$y_t = \mathbf{Z}_{t}\alpha_{t} + \epsilon_{t},$$ $$\alpha_{t + 1} = \mathbf{T}_{t}\alpha_{t} + \mathbf{R}_{t}\eta_{t},$$

onde $y_{t}$ é nosso vetor de observação, $\alpha_{t}$ nosso vetor de estado no passo tempo $t$. As quantidades em negrito são as matrizes de transformação do modelo de espaço de estados que são definidas de acordo com as características do sistema em consideração. Nos tambem temos

η t ~ N I D ( 0 , Q

$$\epsilon_{t} \sim NID(0, \mathbf{H}_{t}),$$ α 1 ~ N I D ( um 1 , P 1 ) $$\eta_{t} \sim NID(0, \mathbf{Q}_{t}),$$ $$\alpha_{1} \sim NID(a_{1}, \mathbf{P}_{1}).$$

onde . Agora, deduzi e implementei a recursão do filtro Kalman para esse modelo genérico de espaço de estados, adivinhando os parâmetros iniciais e as matrizes de variação H 1 e Q 1 que eu posso produzir gráficos como$t = 1,\ldots, n$$\mathbf{H}_{1}$$\mathbf{Q}_{1}$

onde os pontos são os níveis de água do rio Nilo há mais de 100 anos em janeiro, a linha é o estado Estimado de Kalamn e as linhas tracejadas são os níveis de confiança de 90%.

Agora, para esses dados 1D, defina as matrizes e Q t são apenas escalares σ £ e$\mathbf{H}_{t}$$\mathbf{Q}_{t}$$\sigma_{\epsilon}$ respectivamente. Então agora eu quero obter os parâmetros corretos para esses escalares usando a saída do filtro Kalman e a função loglikelihood$\sigma_{\eta}$

$$\log L(Y_{n}) = -\frac{np}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\sum^{n}_{t = 1}(log|\mathbf{F}_{t}| + v^{\mathsf{T}}_{t}\mathbf{F}_{t}^{-1}v_{t})$$

Onde é o erro de estado e F t é a variação do erro de estado. Agora, aqui é onde estou confuso. No filtro Kalman, tenho todas as informações necessárias para calcular L , mas isso parece não me aproximar de ser capaz de calcular a probabilidade máxima de σ ϵ e σ η . Minha pergunta é como posso calcular a probabilidade máxima de σ ϵ e σ η usando a abordagem de probabilidade de log e a equação acima? Uma quebra algorítmica seria como uma cerveja gelada para mim agora ...$v_{t}$$\mathbf{F}_{t}$$L$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$$\sigma_{\epsilon}$$\sigma_{\eta}$

Obrigado pelo seu tempo.

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Nota. Para o caso 1D, e H t = σ 2 η . Este é o modelo de nível local univariado.$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\epsilon}$$\mathbf{H}_{t} = \sigma^{2}_{\eta}$

Quando você executa o filtro Kalman como você, com os valores fornecidos de e σ 2 η , você obtém uma sequência de inovações $\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$ e suas covariâncias F t , portanto, você pode calcular o valor de$\nu_t$$\boldsymbol{F_t}$$\log L(Y_n)$ usando a fórmula que você dá.

$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$optim$\sigma_\epsilon^2$$\sigma^2_\eta$$\log L(Y_n)$

Alguns pacotes no R (por exemplo dlm) fazem isso por você (veja, por exemplo, a função dlmMLE).