Fórmula do estimador de regressão quantil

Eu vi duas representações diferentes do estimador de regressão quantil que são

Q (β_{q}) = \sum_{Eu : y_{Eu} \geq x_{Eu}^{'} β}^{n} q ∣ y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{Eu : y_{Eu} < x_{Eu}^{'} β}^{n} (1 1 - q) ∣ y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} ∣

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

Q (β_{q}) = \sum_{Eu = 1 1}^{n} ρ_{q} (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}), ρ_{q} (você) = {você}_{Eu} (q - 1 1 ({você}_{Eu} < 0 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

onde . Alguém pode me dizer como mostrar equivalência dessas duas expressões? Aqui está o que eu tentei até agora, começando na segunda expressão. $u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} Q (β_{q}) & = \sum_{Eu = 1 1}^{n} {você}_{Eu} (q - 1 1 ({você}_{Eu} < 0 0)) (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{Eu = 1 1}^{n} (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) (q - 1 1 (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} < 0 0)) (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) \\ = [\sum_{Eu : y_{Eu} \geq x_{Eu}^{'} β}^{n} (q (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q})) + \sum_{Eu : y_{Eu} < x_{Eu}^{'} β}^{n} (q (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) - (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}))] (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$ Mas a partir deste ponto, fiquei preso em como proceder. Por favor, não que esta não seja uma pergunta de lição de casa ou tarefa. Muito Obrigado.

proof quantile-regression equivalence

— AlexH
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Se você se lembrar, MQO minimiza a soma dos quadrados dos resíduos enquanto minimiza regressão mediana da soma dos resíduos absolutos . O estimador mediano ou de desvios mínimos absolutos (LAD) é um caso especial de regressão quantílica em que você tem . Em regressão quantil nós minimizar uma soma de erros absolutos que recebe pesos assimétricos para overprediction e $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ por subpredição. Você pode iniciar a partir da representação LAD e estender isso como a soma da fração dos dados que são ponderados por e considerando seu valor de , e trabalhar com ela da seguinte maneira: $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{q} (você) & = 1 1 ({você}_{Eu} > 0 0) q ∣ {você}_{Eu} ∣ + 1 1 ({você}_{Eu} \leq 0 0) (1 1 - q) ∣ {você}_{Eu} ∣ \\ = 1 1 (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} > 0 0) q ∣ y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} ∣ + 1 1 (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} \leq 0 0) (1 1 - q) ∣ y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} ∣ \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = \sum_{Eu : y_{Eu} > x_{Eu}^{'} β_{q}}^{n} q ∣ y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{Eu : y_{Eu} \leq x_{Eu}^{'} β_{q}}^{n} (1 1 - q) ∣ y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{Eu : y_{Eu} > x_{Eu}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} ∣ + (1 1 - q) \sum_{Eu : y_{Eu} \leq x_{Eu}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{Eu : y_{Eu} > x_{Eu}^{'} β_{q}}^{n} (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) - (1 1 - q) \sum_{Eu : y_{Eu} \leq x_{Eu}^{'} β_{q}}^{n} (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{Eu : y_{Eu} > x_{Eu}^{'} β_{q}}^{n} (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) - \sum_{Eu : y_{Eu} \leq x_{Eu}^{'} β_{q}}^{n} (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) + q \sum_{Eu : y_{Eu} \leq x_{Eu}^{'} β_{q}}^{n} (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{Eu = 1 1}^{n} (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) - \sum_{Eu = 1 1}^{n} 1 1 (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q} \leq 0 0) (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{Eu = 1 1}^{n} (q - 1 1 ({você}_{Eu} \leq 0 0)) {você}_{Eu} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

$y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

q \sum_{Eu : y_{Eu} > x_{Eu}^{'} β_{q}}^{n} (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) + q \sum_{Eu : y_{Eu} \leq x_{Eu}^{'} β_{q}}^{n} (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q}) = \sum_{Eu = 1 1}^{n} (y_{Eu} - x_{Eu}^{'} β_{q})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$

— Andy
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