Distribuição da razão de variáveis aleatórias qui-quadrado dependentes

Suponha que onde são independentes. $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

Minha pergunta é: qual distribuição faz

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

Segue? Eu sei daqui que a razão de duas variáveis aleatórias qui-quadrado expressa como segue uma distribuição Beta. Eu acho que isso pressupõe independência entree. No meu caso, porém, o denominador decontém os componentes deao quadrado. $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

Acho que o também deve seguir uma variação da distribuição Beta, mas não tenho certeza. E se essa suposição estiver correta, não sei como provar. $Z$

— x0dros
fonte

Como a distribuição do denominador é invariável em rotações, você pode girar

para ser igual a

X

$X$

, o que reduz sua pergunta a algo familiar :-).

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$

— whuber

Tenho certeza de que @whuber significa exatamente o que foi digitado lá. Quando você diz 'nominator', você quer dizer 'numerator'?

— Glen_b -Reinstala Monica

Quando você gira qualquer coisa, você (por definição) preserva seu comprimento. Portanto, a variação de qualquer versão rotacionada de

deve ser igual à variação de

, que é

: é aí que

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

termo vem.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

Sua resposta parece muito interessante, mas tenho algumas dúvidas. Quando você diz que eu posso girar

para ficar igual a

X

$X$

, isso basicamente significa que eu posso reescrever o numerador de

como

e, consequentemente, opróprio

se transforma em

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

. Agora, se eu assumir

e como

forem independentes, posso assumir que

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

tem umadistribuição

e assim por diante. Estou entendendo o seu ponto até agora? Então, aqui está a minha confusão. Antes de utilizar o conceito de invariância rotacional e modifyi

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$

— ssaH

@ssah Você errou na aplicação do meu raciocínio: sem o

no denominador, sua distribuição não é mais invariável a rotações arbitrárias de

portanto, as conclusões não são mais válidas.

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

Este post detalha as respostas nos comentários da pergunta.

Seja . Fixe qualquer do comprimento da unidade. Esse vetor sempre pode ser completado em uma base ortonormal (por meio do processo de Gram-Schmidt , por exemplo). Essa mudança de base (da habitual) é ortogonal: não muda de comprimento. Assim, a distribuição de $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

não depende de . Tomando mostra que esta tem a mesma distribuição que $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

Uma vez que o são iid normal, que pode ser escrito como vezes iid variáveis normal padrão e seus quadrados são vezes distribuições. Uma vez que a soma de independente distribuições está $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ , determinamos que a distribuição de é a de $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

onde e são independentes. Ele é bem conhecido que esta razão tem uma Beta $U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ distribuição. (Veja também o tópico estreitamente relacionado naDistribuição de se Beta e qui-quadrado com graus.) $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

Como

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

para o vetor de unidade , concluímos queé $\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ vezes por Betavariado. $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ Para, portanto, possui função de densidade $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

no intervalo (e, caso contrário, é zero). $(0,n)$

Como um controlo, eu simulado realizações independentes de para e , representados graficamente os seus histogramas, e sobreposto o gráfico da densidade Beta correspondente (em vermelho). Os acordos são excelentes. $100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

Rsum(x)^2 / sum(x^2) $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
fonte

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Distribuição da razão de variáveis aleatórias qui-quadrado dependentes