A média e a variação sempre existem para distribuições familiares exponenciais?

Suponha que uma variável aleatória escalar pertença a uma família exponencial de parâmetro vetorial com pdf $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

onde ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ é o vetor de parâmetro e $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ é a estatística suficiente da junta.

Pode-se mostrar que a média e a variação para cada $T_i(x)$ existem. No entanto, a média e a variância para $X$ (ou seja, $E(X)$ e $Var(X)$ ) sempre existem também? Caso contrário, existe um exemplo de uma distribuição familiar exponencial dessa forma cuja média e variável não existem?

Obrigado.

— Wei
fonte

Tomando , , , e fornece fornecido , produzindo $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

Figura

Os gráficos de são mostrados para (em azul, vermelho e dourado, respectivamente). $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

Claramente, os momentos absolutos dos pesos ou superior não existem, porque o integrando , que é assintoticamente proporcional a , produzirá uma integral convergente nos limites se e somente se . Em particular, quando essa distribuição nem sequer tem uma média (e certamente não uma variação). $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— whuber
fonte

Eu não entendo a condição . Você quer dizer ? Quando , não está definido e é negativo e não pode ser um pdf Por favor, deixe-me saber o que eu perdi. Obrigado.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— 21314 Wei

Peço desculpas, pois um sinal de menos foi omitido no cálculo do . Eu o substituí nas fórmulas. Eu realmente quero dizer .

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

Obrigado pelo exemplo. Eu concordo com os momentos de. E os momentos do próprio ? Por exemplo, quando no seu exemplo acima, existe?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— Wei

Como a integral de Lebesgue é definida em termos das partes positiva e negativa do integrando, os momentos de existem se e somente se os momentos deexistir.

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@ Wei: existe apenas se . Sem essa restrição, a expectativa não é definida exclusivamente para alguns CDFs.

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— Dennis