Qual é a distribuição da distância euclidiana entre duas variáveis aleatórias normalmente distribuídas?

Assuma que são dadas dois objectos cujas localizações exacta é desconhecida, mas está distribuído de acordo com a distribuição normal com parâmetros conhecidos (por exemplo, e . Podemos assumir que ambos são normais bivariados, de modo que as posições são descritas por uma distribuição sobre coordenadas (ie e são vetores contendo as coordenadas esperadas para e respectivamente). Também assumiremos que os objetos são independentes. $a \sim N(m, s)$ $b \sim N(v, t))$ $(x,y)$ $m$ $v$ $(x,y)$ $a$ $b$

Alguém sabe se a distribuição da distância euclidiana ao quadrado entre esses dois objetos é uma distribuição paramétrica conhecida? Ou como derivar o PDF / CDF para esta função analiticamente?

normal-distribution distance-functions

— usuario
fonte

Você deve obter um múltiplo de uma distribuição qui-quadrado não central, desde que as quatro coordenadas não estejam correlacionadas. Caso contrário, o resultado parecerá muito mais complicado.

— whuber

@whuber nenhum detalhe / ponteiros você poderia fornecer a respeito de como os parâmetros da distribuição qui-quadrado não-central, resultando relacionar com aqueles dos objetos a, b seria fantástico

— Nick

@Clique nos primeiros parágrafos do artigo da Wikipedia para fornecer os detalhes. Observando as funções características, é possível estabelecer que um resultado semelhante não esteja disponível quando nem todas as variações forem iguais ou houver algumas correlações.

— whuber

@ Nick, só para esclarecer, tanto e são vetores aleatórios com valores em ?

a

$a$

b

$b$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

— Mvctas

@ Nick, se e são solidariamente normal, então a diferença é é normal também. Então seu problema é encontrar a distribuição do vetor normal aleatório. No Google, encontrei este link . O artigo descreve um problema muito mais complexo que, em casos muito particulares, coincide com o seu. Isso dá alguma esperança de que haja uma resposta definitiva para sua pergunta. As referências podem fornecer idéias adicionais sobre onde pesquisar.

a

$a$

b

$b$

a - b

$a-b$

— precisa saber é o seguinte

Respostas:

A resposta a essa pergunta pode ser encontrada no livro Formas quadráticas em variáveis aleatórias de Mathai e Provost (1992, Marcel Dekker, Inc.).

Como os comentários esclarecem, você precisa encontrar a distribuição de que segue uma distribuição normal bivariada com média e matriz de covariância . Essa é uma forma quadrática na variável aleatória bivariada . $Q = z_1^2 + z_2^2$ $z = a - b$ $\mu$ $\Sigma$ $z$

Resumidamente, um bom resultado geral para o caso dimensional em que e é que a função geradora de momento é onde são os valores próprios de e é uma função linear de . Veja o Teorema 3.2a.2 (página 42) no livro citado acima (assumimos aqui que é não singular). Outra representação útil é 3.1a.1 (página 29) onde $p$ $z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

Q = \sum_{j = 1}^{p} z_{j}^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$

E (e^{t Q}) = e^{t \sum_{j = 1}^{p} \frac{b_{j}^{2} λ_{j}}{1 - 2 t λ_{j}}} \prod_{j = 1}^{p} (1 - 2 t λ_{j})^{- 1 / 2}

$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$

λ_{1}, \dots, λ_{p}

$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$

Σ

$\Sigma$

b

$b$

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

Q = \sum_{j = 1}^{p} λ_{j} (u_{j} + b_{j})^{2}

$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$

u_{1}, \dots, u_{p}

$u_1, \ldots, u_p$ são iid .

N (0, 1)

$N(0, 1)$

Todo o capítulo 4 do livro é dedicado à representação e computação de densidades e funções de distribuição, o que não é nada trivial. Estou apenas superficialmente familiarizado com o livro, mas minha impressão é que todas as representações gerais são em termos de expansões em série infinitas.

Portanto, de certa forma, a resposta para a pergunta é: sim, a distribuição da distância euclidiana ao quadrado entre dois vetores normais bivariados pertence a uma classe conhecida (e bem estudada) de distribuições parametrizadas pelos quatro parâmetros e . No entanto, tenho certeza de que você não encontrará essa distribuição em seus livros-texto padrão. $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ $b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

Nota, além disso, que e não precisa ser independente. A normalidade da articulação é suficiente (que é automática se forem independentes e cada normal), então a diferença segue uma distribuição normal. $a$ $b$ $a-b$

— NRH
fonte

Obrigado pela referência, eu encontrei o livro e estou lentamente tentando fazer o meu caminho através dele

— Nick

@NRH Eu já trabalhei no MGF no caso simétrico ( ) em que e em vez de no somatório, tenho . A simulação verifica o primeiro momento. É possível que essa seja a "função linear" que você mencionou e que isso seja peculiar ao caso simétrico, mas pensei em indicá-lo caso haja um erro.

λ_{j} = σ^{2}

$\lambda_j = \sigma^2$

p = 2

$p=2$

b_{j}^{2} λ_{j}

$b_j^2 \lambda_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

— Kyle

Na verdade, com base na definição de , o numerador no exponencial reduz para no caso simétrico (dimensões independentes com variância comum).

b_{j}

$b_j$

μ_{j}^{2}

$\mu_j^2$

— Kyle

Primeiro defina a distribuição bivariada do vetor de diferença, , que será simplesmente ; isso se segue da propagação de incerteza multivariada , envolvendo uma matriz diagonal de blocos e o jacobiano . $\mu_d = \mu_1 - \mu_2$ $\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$ $\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$ $\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

Em segundo lugar, procure a distribuição do comprimento do vetor de diferença ou a distância radial da origem, que é distribuída por Hoyt :

O raio em torno da média verdadeira em uma variável aleatória normal correlacionada bivariada com variações desiguais, reescrita em coordenadas polares (raio e ângulo), segue uma distribuição de Hoyt. O pdf e o cdf são definidos de forma fechada, a localização numérica da raiz é usada para encontrar o cdf ^ −1. Reduz para a distribuição Rayleigh se a correlação for 0 e as variações forem iguais.

Uma distribuição mais geral surge se você permitir uma diferença tendenciosa (origem deslocada), da Ballistipedia :

— Felipe G. Nievinski
fonte

+1, mas acho que vale ressaltar que a pergunta lida com o que sua figura chama de "caso geral".

— Ameba diz Reinstate Monica

Por que não testá-lo?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))

Gráfico 1 Gráfico 2 Gráfico 3 Gráfico 4

— Brandon Bertelsen
fonte

os comentários de whubers à pergunta original já declaravam como seria se as variações fossem as mesmas e as variáveis não fossem correlacionadas. Talvez dar um exemplo de onde esse não seja o caso seria mais esclarecedor.

— Andy W

Você pode fornecer um exemplo?

— Brandon Bertelsen

tudo o que você precisa fazer é gerar os valores x e y que estejam correlacionados ou que tenham variações diferentes. As diferentes variações podem ser feitas exatamente no código como está. Você pode gerar valores a partir de uma matriz de covariância especificada usando mvrnorm do pacote MASS. Também não tenho certeza de qual é a função "dentista" no código acima, talvez seja "densidade".

— Andy W

Dito isto, é provavelmente igualmente esclarecedor trabalhar com a matemática para ver por que esse é o caso (e como manipular a variação / covariância alterará a distribuição). Não está totalmente claro para mim por que esse é o caso apenas olhando para a função característica mencionada pela whuber. Parece que um simples entendimento das regras para adicionar, subtrair e multiplicar variáveis aleatórias o levará a entender por que isso acontece.

— 21711 Andy W

Qual é a distribuição da distância euclidiana entre duas variáveis ​​aleatórias normalmente distribuídas?

Qual é a distribuição da distância euclidiana entre duas variáveis aleatórias normalmente distribuídas?