Verificando se duas amostras de Poisson têm a mesma média

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Esta é uma pergunta elementar, mas não consegui encontrar a resposta. Eu tenho duas medidas: n1 eventos no tempo t1 e n2 eventos no tempo t2, ambos produzidos (digamos) por processos de Poisson com valores lambda possivelmente diferentes.

Na verdade, isso é de um artigo de notícias, que afirma essencialmente que, desde os dois são diferentes, mas não tenho certeza de que a reivindicação seja válida. Suponha que os períodos não tenham sido escolhidos com intuito malicioso (para maximizar os eventos em um ou outro). $n_1/t_1\neq n_2/t_2$

Posso apenas fazer um teste t ou isso não seria apropriado? O número de eventos é muito pequeno para eu chamar confortavelmente as distribuições aproximadamente normais.

hypothesis-testing poisson-distribution

— Charles
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FWIW, artigo: health.usnews.com/health-news/family-health/brain-and-behavior/...

— Charles

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Espécime finas de jornalismo científico, lá ...

— Matt Parker

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Sim ... você pode ver porque eu queria verificar as estatísticas usadas.

— Charles

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Para testar a média de Poisson, o método condicional foi proposto por Przyborowski e Wilenski (1940). A distribuição condicional de X1 dada X1 + X2 segue uma distribuição binomial cuja probabilidade de sucesso é uma função da razão dois lambda. Portanto, procedimentos de teste de hipóteses e estimativa de intervalos podem ser facilmente desenvolvidos a partir dos métodos exatos para fazer inferências sobre a probabilidade de sucesso binomial. Geralmente, dois métodos são considerados para esse fim,

Teste C
E-test

Você pode encontrar os detalhes sobre esses dois testes neste documento. Um teste mais poderoso para comparar duas médias de Poisson

— Wazir
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+1 Boa referência, obrigado. O teste C é uma versão mais rigorosa da que eu esbocei, portanto vale a pena considerar. O teste E relaciona uma estatística t a uma distribuição apropriada. O cálculo dessa distribuição envolve uma soma infinita dupla que levará os cálculos de a convergir: bastante fácil de codificar, provavelmente um exagero para verificar o jornal!

O (n_{1} n_{2})

$O(n_1 n_2)$

— whuber

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O autor do artigo de teste E escreveu uma implementação simples do fortran para calcular valores-p para duas médias de poisson aqui: ucs.louisiana.edu/~kxk4695 Eu levei o fortran para o MATLAB aqui git.io/vNP86

— AndyL

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E se:

poisson.test(c(n1, n2), c(t1, t2), alternative = c("two.sided"))

Este é um teste que compara as taxas de Poisson de 1 e 2 e fornece um valor de p e um intervalo de confiança de 95%.

— Rob van Gemert
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Deve-se notar que, para um problema de duas amostras, isso usa um teste binomial para comparar taxas

— Jon

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Você está procurando uma verificação rápida e fácil.

$\lambda$ $t = t_1+t_2$ $[0, t_1]$ $n_1$ $[t_1, t_1+t_2]$ $n_2$

\hat{λ} = \frac{n_{1 1} + n_{2}}{t_{1 1} + t_{2}}

$\hat{\lambda} = \frac{n_1+n_2}{t_1+t_2}$

$n_i$ $t_i\hat{\lambda}$ $n_i$

— whuber
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Obrigado (+1), é a verificação certa para esse tipo de coisa inusitada. Acabou sendo altamente significativo (p = 0,005), portanto o artigo está correto. Espero que você não se importe, porém, de ter aceito a outra resposta - é bom saber a maneira 'real' de fazê-lo quando for necessário.

— Charles

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Eu estaria mais interessado em um intervalo de confiança do que um valor ap, aqui está uma aproximação de autoinicialização.

Calculando primeiro os comprimentos dos intervalos e uma verificação:

Lrec = as.numeric(as.Date("2010-07-01") - as.Date("2007-12-02")) # Length of recession
Lnrec = as.numeric(as.Date("2007-12-01") - as.Date("2001-12-01")) # L of non rec period
(43/Lrec)/(50/Lnrec)

[1] 2.000276

Essa verificação fornece um resultado ligeiramente diferente (aumento de 100,03%) do que o da publicação (aumento de 101%). Continue com o bootstrap (faça duas vezes):

N = 100000
k=(rpois(N, 43)/Lrec)/(rpois(N, 50)/Lnrec)
c(quantile(k, c(0.025, .25, .5, .75, .975)), mean=mean(k), sd=sd(k))

     2.5%       25%       50%       75%     97.5%      mean        sd 
1.3130094 1.7338545 1.9994599 2.2871373 3.0187243 2.0415132 0.4355660 

     2.5%       25%       50%       75%     97.5%      mean        sd 
1.3130094 1.7351970 2.0013578 2.3259023 3.0173868 2.0440240 0.4349706

O intervalo de confiança de 95% do aumento é de 31% a 202%.

— GaBorgulya
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