Fórmula de forma fechada para a função de distribuição, incluindo assimetria e curtose?

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Existe essa fórmula? Dado um conjunto de dados para os quais a média, variância, assimetria e curtose são conhecidas ou podem ser medidas, existe uma fórmula única que pode ser usada para calcular a densidade de probabilidade de um valor assumido como proveniente dos dados acima mencionados?

— babelproofreader
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Para qualquer distribuição normal (gaussiana), a assimetria é

pois é simétrica, e a curtose excessiva também é

das propriedades de uma distribuição normal. Para outras distribuições, a média, variância, assimetria e curtose não são suficientes para definir a distribuição, embora geralmente possam ser encontrados exemplos.

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— Henry

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@Henry Na verdade, na maioria

-parameter famílias de distribuições com

, os primeiros quatro momentos - que pode ser recuperado a partir da média, variância, assimetria, e curtose - são normalmente suficientes para identificar a distribuição.

k

$k$

k \leq 4

$k \le 4$

— whuber

@ whuber: Isso me parece um pouco circular: restringir distribuições a uma família onde há quatro ou menos parâmetros, sabendo que quatro estatísticas da distribuição geralmente identificam os parâmetros. Concordo. Mas um dos meus pontos foi, essencialmente, que sem restrições, existem diferentes possibilidades de distribuições com densidades de probabilidade substancialmente variáveis em pontos específicos, mesmo com os mesmos quatro primeiros momentos em geral.

— Henry

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Entendo o que você quer dizer, Henry: por "outras distribuições", você quis dizer em um sentido amplamente geral, enquanto minha resposta o levou a significar no sentido de distribuições comumente usadas em estatística (que raramente têm mais de quatro parâmetros). Penso que o seu codicilo - "embora possam ser encontrados exemplos" - pode ter sugerido minha interpretação mais restrita.

— whuber

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Existem muitas dessas fórmulas. A primeira tentativa bem-sucedida de resolver exatamente esse problema foi feita por Karl Pearson em 1895, levando ao sistema de distribuições de Pearson . Essa família pode ser parametrizada pela média, variância, assimetria e curtose. Inclui, como casos especiais familiares, distribuições Normal, Student-t, Qui-quadrado, Gama Inversa e F. Kendall & Stuart Vol 1 dão detalhes e exemplos.

— whuber
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Isso soa como uma abordagem de "correspondência de momento" para ajustar uma distribuição aos dados. Geralmente, não é uma ótima idéia (o título do post de John Cook é 'um beco sem saída estatístico').

— shabbychef
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O teste K2 de D'Agostino informará se uma distribuição de amostra veio de uma distribuição normal com base na assimetria e curtose da amostra.

Se você quiser fazer um teste assumindo uma distribuição não normal (talvez com alta assimetria ou curtose), precisará descobrir qual é a distribuição. Você pode observar a distribuição normal inclinada e a distribuição normal generalizada . Se você fizer isso, também considerará outras distribuições.

— Thomas Levine
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