Distribuição dos valores extremos

Se um item segue a distribuição normal, a média também segue a distribuição normal. E o mínimo e o máximo?

Você deve dar uma olhada nas estatísticas do pedido . Aqui está uma breve visão geral.

Seja uma amostra iid de tamanho n, extraída de uma população com função de distribuição F e função de densidade de probabilidade f . Defina Y 1 = X ( 1 ) , … , Y r = X ( r ) , … , Y n = X ( n ) , onde X ( r ) denota r X 1$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$ th ordem estatística da amostra , ou seja, seu$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$ menor valor.

Pode ser demonstrado que a função densidade de probabilidade conjunta de é$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

se y 1 < y 2 < … < y n e$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$ otherwise.

Ao integrar a equação anterior, obtemos

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

In particular, for the minimum and maximum, we respectively have

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

You might also want to read up on the generalized extreme value (GEV) distribution. It turns out that as $n\rightarrow\infty$, the (shifted and scaled) distribution of the maximal value of the sample converges to one of the three special cases of the GEV distribution.

The sum of Gaussians is Gaussian. That is why the average is normal. The distribution of any non-linear function of (finitely many) Gaussians need not be Gaussian, and it usually isn't. Such is the case of the maximum function. To approximate the maximum of a multivariate Gaussian, Hothorn is a good place to start.