Residuais em regressão de poisson

O Guia para Iniciantes do Zuur 2013 do GLM e GLMM sugere a validação de uma regressão de Poisson, plotando os resíduos de Pearsons em relação aos valores ajustados. Zuur afirma que não devemos ver os resíduos se espalhando à medida que os valores ajustados aumentam, como o gráfico anexado (desenhado à mão).

Mas eu pensei que uma característica chave da distribuição de Poisson é que a variação aumenta à medida que a média aumenta. Portanto, não devemos esperar ver uma variação crescente nos resíduos à medida que os valores ajustados aumentam?

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residuals poisson-regression

— luciano
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A distinção é clara assim que você entende o que é um resíduo de Pearson.

Você está certo que, para um modelo de Poisson, a variação aumenta à medida que a média aumenta.

Como resultado, os resíduos brutos comuns ( ) devem ter um spread que aumenta com os valores ajustados (embora não em proporção). $r_i=y_i-\hat\mu_i$

No entanto, os resíduos de Pearson são residuais divididos pela raiz quadrada da variação de acordo com o modelo ( para um modelo de Poisson). Isso significa que, se o modelo estiver correto, os resíduos de Pearson deverão ter um espalhamento constante. $r^P_i=\frac{y_i-\hat\mu_i}{\sqrt{\hat\mu_i}}$

Gráficos residuais de um modelo de regressão simples de Poisson simulado. Gráfico à esquerda: resíduos brutos versus média ajustada mostram aumento da dispersão com a média. Há "faixas" diagonais nos resíduos porque os dados são discretos. Gráfico à direita: os resíduos de Pearson mostram o que parece uma propagação constante como mudanças médias e as faixas diagonais agora são curvas.

— Glen_b -Reinstate Monica
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Você poderia esclarecer por que escreve que estamos dividindo pela raiz quadrada da variância quando na verdade você está dividindo pela raiz quadrada do valor esperado? Sei que a variação é igual à média de uma distribuição de poisson, mas é uma constante para uma distribuição específica. Portanto, de que variação estamos falando aqui?

— kdarras 12/02

A distribuição condicional da resposta pode ser diferente em cada combinação de preditores. Daí o uso do subscrito na média; é a média da população (e, portanto, também a variação da população) para a observação , dados seus valores preditores (os valores de seus IVs).

μ_{i}

$\mu_i$

i

$i$

— Glen_b -Reinstate Monica