Resposta curta: O Vaticano é um país.
A resposta longa requer a compreensão de que existe uma diferença entre "Estado" e "País", mas o Vaticano se qualifica como ambos de qualquer maneira.
A Cidade do Vaticano é um Estado (a definição legalista de um país independente), o que significa que possui total soberania nacional. Faz leis próprias, tem cidadãos, alguns dos quais vivem permanentemente, emite passaportes, tem uma economia e um banco nacional, emite moeda (o Euro), tem território (terra), mantém relações diplomáticas no Estado no nível partidário de outras nações, possui fronteiras internacionais, um governo nacional (no caso do Vaticano, uma monarquia teocrática) e é reconhecido como Estado por outros Estados. Mantém serviços postais e telefônicos, possui um sistema de transporte público (muito limitado), seu próprio serviço militar nacional e assim por diante.
É importante notar que a cidade do Vaticano (a entidade nacional) é separada da Santa Sé (a entidade religiosa), que mantém seus próprios relacionamentos com outras entidades.
Além disso, alguém mencionou que o Vaticano é o menor país do mundo. De fato, essa honra duvidosa chega a Sealand com base na menor área de terra, embora muitos outros Estados não reconheçam Sealand como soberana.
E agora a resposta estendida:
A Cidade do Vaticano também se qualifica como um país. Os países não precisam ser soberanos. Por exemplo, Porto Rico é um país, mas não um Estado, porque é administrado pelos Estados Unidos, não regula sua própria economia ou emite dinheiro, goza de autonomia doméstica limitada (sua capacidade de fazer leis é limitada pelo governo federal dos EUA), não é reconhecido por outros Estados como sendo um Estado, e assim por diante. Nesse sentido, é semelhante a outras entidades subnacionais, como Hong Kong (parte da China) ou Inglaterra (parte do Reino Unido) ou estados internos dos Estados Unidos.