Computadores digitais podem entender o infinito?

Como ser humano, podemos pensar no infinito. Em princípio, se tivermos recursos suficientes (tempo etc.), poderemos contar infinitamente muitas coisas (incluindo resumo, como números ou reais).

Por exemplo, pelo menos, podemos levar em consideração números inteiros. Podemos pensar, principalmente, e "entender" infinitamente muitos números que são exibidos na tela. Atualmente, estamos tentando projetar inteligência artificial capaz, pelo menos, de ser humano. No entanto, estou preso ao infinito. Eu tento encontrar uma maneira de ensinar um modelo (profundo ou não) a entender o infinito. Eu defino "entendimento" em uma abordagem funcional. Por exemplo, se um computador pode diferenciar 10 números ou coisas diferentes, significa que realmente entende essas coisas de alguma forma. Essa é a abordagem básica básica para a "compreensão".

Como mencionei antes, os seres humanos entendem o infinito porque são capazes, pelo menos, contando números inteiros infinitos, em princípio. Deste ponto de vista, se eu quiser criar um modelo, o modelo é realmente uma função em um sentido abstrato, esse modelo deve diferenciar infinitamente muitos números. Como os computadores são máquinas digitais com capacidade limitada para modelar uma função tão infinita, como posso criar um modelo que diferencia infinitamente muitos números inteiros?

Por exemplo, podemos adotar um modelo de visão de aprendizado profundo que reconheça os números no cartão. Este modelo deve atribuir um número a cada cartão diferente para diferenciar cada número inteiro. Como existem números infinitos de números inteiros, como o modelo pode atribuir números diferentes a cada número inteiro, como um ser humano, nos computadores digitais? Se não pode diferenciar coisas infinitas, como entende o infinito?

Se eu levar em consideração números reais, o problema se tornará muito mais difícil.

Qual é o ponto que estou perdendo? Existem recursos focados no assunto?

Eu acho que esse é um equívoco bastante comum sobre IA e computadores, especialmente entre leigos. Há várias coisas para descompactar aqui.

Vamos supor que haja algo especial no infinito (ou nos conceitos contínuos) que os torne especialmente difíceis para a IA. Para que isso seja verdade, deve tanto ser o caso que os seres humanos podem entender esses conceitos enquanto permanecerem estranho para máquinas, e que existem outros conceitos que não são como o infinito que ambos os seres humanos e máquinas podem entender. O que vou mostrar nesta resposta é que querer essas duas coisas leva a uma contradição.

A raiz desse mal-entendido é o problema do que significa entender . Compreender é um termo vago na vida cotidiana e essa natureza vaga contribui para esse equívoco.

Se, por entender, queremos dizer que um computador tem a experiência consciente de um conceito, então rapidamente ficamos presos na metafísica. Há um longo debate, e essencialmente aberto, sobre se os computadores podem "entender" qualquer coisa nesse sentido e, às vezes, sobre se os humanos podem! Você também pode perguntar se um computador pode "entender" que 2 + 2 = 4. Portanto, se há algo de especial no entendimento do infinito, ele não pode estar relacionado ao "entendimento" no sentido da experiência subjetiva.

Então, vamos supor que, ao "entender", tenhamos alguma definição mais específica em mente. Algo que tornaria um conceito como o infinito mais complicado para um computador "entender" do que um conceito como aritmética. Nossa definição mais concreta de "compreensão" deve estar relacionada a alguma capacidade objetivamente mensurável ou habilidade relacionada ao conceito (caso contrário, estamos de volta à terra da experiência subjetiva). Vamos considerar que capacidade ou habilidade poderíamos escolher que tornaria o infinito um conceito especial, entendido por humanos e não por máquinas, ao contrário de aritmética.

Poderíamos dizer que um computador (ou uma pessoa) entende um conceito se pode fornecer uma definição correta desse conceito. No entanto, se pelo menos um ser humano entende o infinito por essa definição, deve ser fácil anotá-la. Uma vez que a definição é anotada, um programa de computador pode produzi-la. Agora o computador "entende" o infinito também. Esta definição não funciona para nossos propósitos.

Podemos dizer que uma entidade entende um conceito se puder aplicá- lo corretamente. Novamente, se mesmo uma pessoa entender como aplicar o conceito de infinito corretamente, precisamos apenas registrar as regras que estão usando para raciocinar sobre o conceito, e podemos escrever um programa que reproduza o comportamento desse sistema de regras. O infinito é realmente muito bem caracterizado como um conceito, capturado em idéias como números de Aleph . Não é impraticável codificar esses sistemas de regras em um computador, pelo menos até o nível que qualquer ser humano os entenda. Portanto, os computadores podem "entender" o infinito até o mesmo nível de entendimento que os humanos por essa definição também. Portanto, essa definição não funciona para nossos propósitos.

Poderíamos dizer que uma entidade "entende" um conceito se puder relacioná-lo logicamente a novas idéias arbitrárias. Esta é provavelmente a definição mais forte, mas precisaríamos ter muito cuidado aqui: muito poucos humanos (proporcionalmente) têm uma compreensão profunda de um conceito como o infinito. Menos ainda podem relacioná-lo prontamente a novos conceitos arbitrários. Além disso, algoritmos como o General Problem Solver podem, em princípio, derivar conseqüências lógicas de um determinado corpo de fatos, com tempo suficiente. Talvez, nessa definição, os computadores entendam o infinito melhor do que a maioria dos humanos, e certamente não há razão para supor que nossos algoritmos existentes não melhorem ainda mais essa capacidade ao longo do tempo. Essa definição também não parece atender aos nossos requisitos.

Finalmente, podemos dizer que uma entidade "entende" um conceito se pode gerar exemplos dele. Por exemplo, eu posso gerar exemplos de problemas em aritmética e suas soluções. Sob essa definição, provavelmente não "entendo" o infinito, porque não posso realmente apontar ou criar qualquer coisa concreta no mundo real que seja definitivamente infinita. Por exemplo, não posso escrever uma lista infinitamente longa de números, apenas fórmulas que expressam maneiras de criar listas cada vez mais longas, investindo cada vez mais esforço em escrevê-las. Um computador deve ser pelo menos tão bom quanto eu nisso. Essa definição também não funciona.

Esta não é uma lista exaustiva de definições possíveis de "entende", mas abordamos "entende" como eu a entendo muito bem. Sob toda definição de entendimento, não há nada de especial no infinito que o separe de outros conceitos matemáticos.

Portanto, o resultado é que, ou você decide que um computador não "entende" nada, ou não há uma razão particularmente boa para supor que o infinito seja mais difícil de entender do que outros conceitos lógicos. Se você não concordar, você precisa fornecer uma definição concreta de "compreensão" que faz compreensão separada do infinito de outros conceitos, e que não depende de experiências subjetivas (a menos que você quer reivindicar os seus pontos de vista particulares metafísicas são universalmente correta, mas isso é um argumento difícil de fazer).

O infinito tem uma espécie de status semi-místico entre o público leigo, mas é realmente como qualquer outro sistema matemático de regras: se podemos escrever as regras pelas quais o infinito opera, um computador pode fazê-las tão bem quanto uma lata humana ( ou melhor).

Eu acho que sua premissa é falha.

Parece que você supõe que "entender" (*) infinitos requer capacidade infinita de processamento e implica que os humanos tenham exatamente isso, pois você os apresenta como o oposto de computadores limitados e finitos.

Mas os humanos também têm capacidade finita de processamento. Somos seres construídos com um número finito de partículas elementares, formando um número finito de átomos, formando um número finito de células nervosas. Se pudermos, de uma maneira ou de outra, "entender" infinitos, certamente computadores finitos também poderão ser construídos.

(* Eu usei "entender" entre aspas, porque não quero entrar, por exemplo, na definição de senciência etc. Também não acho que isso importe em relação a essa questão.)

Como ser humano, podemos pensar no infinito. Em princípio, se tivermos recursos suficientes (tempo etc.), poderemos contar infinitamente muitas coisas (incluindo resumo, como números ou reais).

Aqui, você realmente diz isso em voz alta. "Com recursos suficientes." O mesmo não se aplicaria aos computadores?

Enquanto os humanos podem , por exemplo, usar infinitos no cálculo de limites etc. e pensar na ideia de algo ficar arbitrariamente maior, só podemos fazê-lo em abstrato, não no sentido de poder processar números arbitrariamente grandes. As mesmas regras que usamos para a matemática também podem ser ensinadas ao computador.

TL; DR : As sutilezas do infinito são tornadas aparentes na noção de ilimitação. A falta de limites é finitamente definível. "Coisas infinitas" são realmente coisas de natureza ilimitada. O infinito é melhor entendido não como uma coisa, mas como um conceito. Teoricamente, os seres humanos possuem habilidades ilimitadas e não infinitas (por exemplo, contar para qualquer número arbitrário em oposição a "contar até o infinito"). Uma máquina pode ser fabricada para reconhecer a ilimitação.

Abaixo a toca do coelho novamente

Como proceder? Vamos começar com "limites".

Limitações

Nosso cérebro não é infinito (para que você não acredite em alguma metafísica). Portanto, não "pensamos no infinito". Assim, o que pretendemos como infinito é melhor entendido como algum conceito mental finito com o qual podemos "comparar" outros conceitos.

Além disso, não podemos "contar números inteiros infinitos". Há um subtile aqui que é muito importante ressaltar:

Nosso conceito de quantidade / número é ilimitado . Ou seja, para qualquer valor finito, temos uma maneira finita / concreta ou produzimos outro valor que é estritamente maior / menor. Ou seja, desde que com tempo finito , poderíamos contar apenas quantidades finitas .

Você não pode receber "tempo infinito" para "contar todos os números", isso implicaria um "acabamento" que contradiz diretamente a noção de infinito. A menos que você acredite que os seres humanos tenham propriedades metafísicas que lhes permitam "consistentemente" incorporar um paradoxo. Além disso, como você responderia: Qual foi o último número que você contou? Sem "último número", nunca há um "final" e, portanto, nunca um "final" para a sua contagem. Ou seja, você nunca pode "ter" tempo / recursos suficientes para "contar até o infinito".

Acho que o que você quer dizer é que podemos entender a noção de bijeção entre conjuntos infinitos. Mas essa noção é uma construção lógica (ou seja, é uma maneira finita de disputar o que entendemos ser infinito).

No entanto, o que realmente estamos fazendo é: dentro de nossos limites, estamos falando sobre nossos limites e, sempre que precisarmos, podemos expandir nossos limites (em uma quantidade finita). E podemos até falar sobre a natureza de expandir nossos limites. Portanto:

Unboundedness

Um processo / coisa / idéia / objeto é considerado ilimitado se, dada alguma medida de sua quantidade / volume / existência, pudermos, de maneira finita, produzir uma "extensão" desse objeto que tenha uma medida que consideramos "maior" (ou "menor"). no caso de infinitesimais) que a medida anterior e que esse processo de extensão pode ser aplicado ao objeto nascente (ou seja, o processo é recursivo).

Caso canônico número um: Os números naturais

Além disso, nossa noção de infinito impede qualquer "disponibilidade" ou "disponibilidade" até o infinito. Ou seja, nunca "chegamos" ao infinito nem jamais "temos" o infinito. Em vez disso, procede-se sem limites.

Assim, como conceituamos o infinito?

Infinidade

Parece que "infinito" como uma palavra é mal interpretado para significar que existe uma coisa chamada "infinito" em oposição a um conceito chamado "infinito". Vamos esmagar átomos com a palavra:

Infinito: ilimitado ou infinito no espaço, extensão ou tamanho; impossível medir ou calcular.

in: um prefixo de origem latina, correspondente ao inglês un-, com uma força negativa ou privativa, usada livremente como formativo em inglês, especialmente de adjetivos e seus derivados e de substantivos (desatenção; indefensável; barato; inorgânico; invariável). ( fonte )

Finito: tendo limites ou limites.

Portanto, a in finitude é realmente a não finitude, que não tem limites ou limites . Mas podemos ser mais precisos aqui, porque todos podemos concordar que os números naturais são infinitos, mas qualquer número natural é finito. Então, o que dá? Simples: os números naturais satisfazem nosso critério de ilimitação e, portanto, dizemos "os números naturais são infinitos".

Ou seja, "infinito" é um conceito. Um objeto / coisa / ideia é considerado infinito se possuir uma propriedade / faceta sem limites. Como vimos anteriormente, a infidelidade é finitamente definível.

Portanto, se o agente de que você fala foi programado o suficiente para identificar o padrão nos números nos cartões e que todos os números são provenientes do mesmo conjunto, isso pode deduzir a natureza ilimitada da sequência e, portanto, definir o conjunto de todos os números como infinito - puramente porque o conjunto não tem limite superior . Ou seja, a progressão dos números naturais é ilimitada e, portanto, definitivamente infinita.

Assim, para mim, o infinito é melhor entendido como um conceito geral para identificar quando processos / coisas / idéias / objetos possuem uma natureza ilimitada. Ou seja, o infinito não é independente da infidelidade. Tente definir o infinito sem compará-lo a coisas finitas ou aos limites dessas coisas finitas.

Conclusão

Parece viável que uma máquina possa ser programada para representar e detectar casos de infidelidade ou quando pode ser admissível assumir infidelidade.

No Haskell, você pode digitar:

print [1..]

e imprimirá a sequência infinita de números, começando com:

[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130,131,132,133,134,135,136,137,138,139,140,141,142,143,144,145,146,147,148,149,150,151,152,153,154,155,156,157,158,159,160,161,162,163,164,165,166,167,168,169,170,171,172,173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183,184,185,186,187,188,189,190,191,192,193,194,195,196,197,198,199,200,201,202,203,204,205,206,207,208,209,210,211,212,213,214,215,216,217,218,219,220,221,222,223,224,225,226,227,228,229,230,231,232,233,234,235,236,237,238,239,240,241,242,243,244,245,246,247,248,249,250,251,252,253,254,255,256,257,258,259,260,261,262,263,264,265,266,267,268,269,270,271,272,273,274,275,276,277,278,279,280,281,282,283,284,285,286,287,288,289,290,291,292,293,294,295,296,297,298,299,300,301,302,303,304,305,306,307,308,309,310,311,312,313,314,315,316,317,318,319,320,321,322,323,324,325,326,327,328,329,330,331,332,333,334,335,336,337,338,339,340,341,342,343,344,345,346,347,348,349,350,351,352,353,354,355,356,357,358,359,360,361,362,363,364,365,366,367,368,369,370,371,372,373,374,375,376,377,378,379,380,381,382,383,384,385,386,387,388,389,390,391,392,393,394,395,396,397,398,399,400,401,402,403,404,405,406,407,408,409,410,411,412,413,414,415,416,417,418,419,420,421,422,423,424,425,426,427,428,429,430,431,432,433,434,435,436,437,438,439,440,441,442,443,444,445,446,447,448,449,450,451,452,453,454,455,456,457,458,459,460,461,462,463,464,465,466,467,468,469,470,471,472,473,474,475,476,477,478,479,480,481,482,483,484,485,486,487,488,489,490,491,492,493,494,495,496,497,498,499,500,501,502,503,504,505,506,507,508,509,510,511,512,513,514,515,516,517,518,519,520,521,522,523,524,525,526,527,528,529,530,531,532,533,534,535,536,537,538,539,540,541,542,543,544,545,546,547,548,549,550,551,552,553,554,555,556,557,558,559,560,561,562,563,564,565,566,567,568,569,570,571,572,573,574,575,576,577,578,579,580,581,582,583,584,585,586,587,588,589,590,591,592,593,594,595,596,597,598,599,600,601,602,603,604,605,606,607,608,609,610,611,612,613,614,615,616,617,618,619,620,621,622,623,624,625,626,627,628,629,630,631,632,633,634,635,636,637,638,639,640,641,642,643,644,645,646,647,648,649,650,651,652,653,654,655,656,657,658,659,660,661,662,663,664,665,666,667,668,669,670,671,672,673,674,675,676,677,678,679,680,681,682,683,684,685,686,687,688,689,690,691,692,693,694,695,696,697,698,699,700,701,702,703,704,705,706,707,708,709,710,711,712,713,714,715,716,717,718,719,720,721,722,723,724,725,726,727,728,729,730,731,732,733,734,735,736,737,738,739,740,741,742,743,744,745,746,747,748,749,750,751,752,753,754,755,756,757,758,759,760,761,762,763,764,765,766,767,768,769,770,771,772,773,774,775,776,777,778,779,780,781,782,783,784,785,786,787,788,789,790,791,792,793,794,795,

Isso será feito até que o console fique sem memória.

Vamos tentar algo mais interessante.

double x = x * 2
print (map double [1..])

E aqui está o começo da saída:

[2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66,68,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,96,98,100,102,104,106,108,110,112,114,116,118,120,122,124,126,128,130,132,134,136,138,140,142,144,146,148,150,152,154,156,158,160,162,164,166,168,170,172,174,176,178,180,182,184,186,188,190,192,194,196,198,200,202,204,206,208,210,212,214,216,218,220,222,224,226,228,230,232,234,236,238,240,242,244,246,248,250,252,254,256,258,260,262,264,266,268,270,272,274,276,278,280,282,284,286,288,290,292,294,296,298,300,302,304,306,308,310,312,314,316,318,320,322,324,326,328,330,332,334,336,338,340,342,344,346,348,350,352,354,356,358,360,362,364,366,368,370,372,374,376,378,380,382,384,386,388,390,392

Esses exemplos mostram computação infinita. De fato, você pode manter estruturas de dados infinitas no Haskell, porque o Haskell tem a noção de não-rigor - você pode fazer o cálculo em entidades que ainda não foram totalmente computadas. Em outras palavras, você não precisa calcular totalmente uma entidade infinita para manipular essa entidade em Haskell.

Reductio ad absurdum.

Acredito que se pode dizer que os seres humanos entendem o infinito desde pelo menos Georg Cantor, porque podemos reconhecer diferentes tipos de infinitos (principalmente contáveis ​​versus incontáveis) através do conceito de cardinalidade .

Especificamente, um conjunto é infinitamente contável se puder ser mapeado para os números naturais , ou seja, há uma correspondência de 1 para 1 entre os elementos de conjuntos contados infinitamente. O conjunto de todos os reais é incontável, assim como o conjunto de todas as combinações de números naturais, porque sempre haverá mais combinações que números naturais em que n> 2, resultando em um conjunto com maior cardinalidade. (As primeiras provas formais de incontabilidade podem ser encontradas em Cantor e são assunto de Filosofia da Matemática .)

A compreensão do infinito envolve lógica e não aritmética, porque não podemos expressar, por exemplo, todas as casas decimais de um número transcendental , apenas usamos aproximações. A lógica é uma capacidade fundamental do que pensamos como computadores.

• $\pi$

"Interminável" é uma definição de infinito, com o conjunto de números naturais como exemplo (há um número mínimo, 1, mas não maior número).

Intratabilidade vs. Infinito

Fora do caso especial de loops infinitos, tenho que me perguntar se uma IA é mais orientada para a intratabilidade computacional do que para o infinito.

Diz-se que um problema é intratável se não houver tempo e espaço suficientes para representá-lo completamente, e isso pode ser estendido a muitos números reais.

$\pi$

A IA assumiria que esse número era infinito ou meramente intratável? O último caso é concreto em oposição ao abstrato - ou pode terminar o cálculo ou não.

Isso leva ao problema da parada .

• A prova de Turing de que um algoritmo geral para resolver o problema de parada de todos os pares possíveis de entrada de programa não pode existir pode ser tomada como uma indicação de que um algoritmo baseado no modelo de computação de Turing-Church não pode ter um entendimento perfeito do infinito.

Se surgisse um modelo computacional alternativo que pudesse resolver o problema da parada, pode-se argumentar que um algoritmo poderia ter um entendimento perfeito ou, pelo menos, demonstrar um entendimento comparável aos humanos.

(Há um resumo na parte inferior para aqueles que são preguiçosos ou pressionados por tempo para ler a coisa toda.)

Infelizmente, para responder a essa pergunta, estarei principalmente desconstruindo as várias premissas.

Como mencionei antes, os seres humanos entendem o infinito porque são capazes, pelo menos, contando números inteiros infinitos, em princípio.

Eu discordo da premissa de que os humanos seriam realmente capazes de contar até o infinito. Para fazer isso, o referido humano precisaria de uma quantidade infinita de tempo, de uma quantidade infinita de memória (como uma máquina de Turing) e, mais importante, de uma quantidade infinita de paciência - na minha experiência, a maioria dos humanos se aborrece antes mesmo de contar até 1.000.

Parte do problema com essa premissa é que o infinito não é realmente um número, é um conceito que expressa uma quantidade ilimitada de 'coisas'. Ditas 'coisas' podem ser qualquer coisa: números inteiros, segundos, lolcats, o ponto importante é o fato de que essas coisas não são finitas.

Consulte esta pergunta SE relevante para obter mais detalhes: https://math.stackexchange.com/questions/260876/what-exactly-is-infinity

Em outras palavras: se eu lhe perguntasse "que número vem antes do infinito?" Qual seria sua resposta? Esse hipotético super-humano teria que contar com esse número antes que eles pudessem contar o infinito. E eles precisariam saber o número antes disso primeiro, e o antes disso, e o antes disso ...

Felizmente, isso demonstra por que o humano não seria capaz de contar até o infinito - porque o infinito não existe no final da linha numérica, é o conceito que explica que a linha numérica não tem fim. Nem o homem nem a máquina podem contar, mesmo com tempo infinito e memória infinita.

Por exemplo, se um computador pode diferenciar 10 números ou coisas diferentes, significa que realmente entende essas coisas diferentes de alguma forma.

Ser capaz de "diferenciar" entre 10 coisas diferentes não implica a compreensão dessas 10 coisas.

Um experimento de pensamento bem conhecido que questiona a idéia do que significa "entender" é o experimento da Sala Chinesa de John Searle :

Imagine um falante nativo de inglês que não conhece chinês trancado em uma sala cheia de caixas de símbolos chineses (uma base de dados) junto com um livro de instruções para manipular os símbolos (o programa). Imagine que as pessoas fora da sala enviem outros símbolos chineses que, desconhecidos pela pessoa na sala, são perguntas em chinês (a entrada). E imagine que, seguindo as instruções do programa, o homem na sala possa distribuir símbolos chineses que são respostas corretas para as perguntas (a saída). O programa permite que a pessoa na sala passe no Teste de Turing para entender chinês, mas ele não entende uma palavra em chinês.

O argumento do argumento é o seguinte: se o homem na sala não entende chinês com base na implementação do programa apropriado para entender chinês, então nenhum outro computador digital é baseado apenas nessa base, porque nenhum computador, como computador, tem algo que homem não tem.

O ponto a ser retirado desse experimento é que a capacidade de processar símbolos não implica que alguém realmente os compreenda. Muitos computadores processam idiomas naturais todos os dias na forma de texto (caracteres codificados como números inteiros, normalmente em uma codificação baseada em unicode como UTF-8), mas eles não entendem necessariamente esses idiomas. De uma forma mais simples, todos os computadores são capazes de adicionar dois números, mas eles não entendem necessariamente o que estão fazendo.

Em outras palavras, mesmo no 'modelo de visão de aprendizado profundo', o computador provavelmente não entende os números (ou 'símbolos') que está sendo mostrado, é apenas a capacidade do algoritmo de simular a inteligência que permite que ele seja classificado como inteligência artificial .

Por exemplo, podemos adotar um modelo de visão de aprendizado profundo que reconheça os números no cartão. Este modelo deve atribuir um número a cada cartão diferente para diferenciar cada número inteiro. Como existem números infinitos de números inteiros, como o modelo pode atribuir números diferentes a cada número inteiro, como um ser humano, nos computadores digitais? Se não pode diferenciar coisas infinitas, como entende o infinito?

Se você realizasse o mesmo teste de cartão em um ser humano e aumentasse continuamente o número de cartões usados, um humano não seria capaz de acompanhar todos eles devido à falta de memória. Um computador enfrentaria o mesmo problema, mas teoricamente poderia superar o humano.

Então agora eu pergunto, um humano pode realmente diferenciar coisas infinitas? Pessoalmente, suspeito que a resposta seja não, porque todos os humanos têm memória limitada e, no entanto, eu concordaria que os humanos provavelmente podem entender o infinito em algum grau (alguns podem fazê-lo melhor do que outros).

Como tal, acho que a pergunta "Se não pode diferenciar coisas infinitas, como entende o infinito?" tem uma premissa falha - ser capaz de diferenciar coisas infinitas não é um pré-requisito para entender o conceito de infinito.

Resumo:

Essencialmente, sua pergunta depende do que significa "entender" algo.

Os computadores certamente podem representar o infinito, a especificação de ponto flutuante IEEE define o infinito positivo e o negativo, e todos os processadores modernos são capazes de processar pontos flutuantes (no hardware ou através de software).

Se as IAs forem capazes de realmente entender as coisas, teoricamente elas poderão entender o conceito de infinito, mas ainda estamos longe de poder provar isso definitivamente de qualquer maneira, e teríamos que chegar a um consenso sobre o que significa 'entender' algo primeiro.

Acredito firmemente que os computadores digitais não podem entender conceitos como infinito, números reais ou, em geral, conceitos contínuos , de maneira semelhante a que os habitantes da terra plana não entendem o mundo tridimensional. Dê uma olhada também no livro Hiperespaço: Uma Odisséia Científica Através de Universos Paralelos, Time Warps e a 10ª Dimensão (1994), de Michio Kaku, que discute esses tópicos mais detalhadamente. Obviamente, nesta resposta, o conceito de entendimento não é rigorosamente definido, mas apenas intuitivamente.

Então, a premissa assume que os humanos "entendem" o infinito. Nós?

Acho que você precisaria me dizer qual critério você usaria, se quisesse saber se eu "entendo" o infinito primeiro.

No OP, é dada a idéia de que eu poderia "provar" que eu "entendi" o infinito, porque "Em princípio, se tivermos recursos suficientes (tempo etc.), podemos contar infinitamente muitas coisas (incluindo resumo, como números ou real)."

Bem, isso simplesmente não é verdade. Pior, se fosse verdade (o que não é), seria igualmente verdade para um computador. Aqui está o porquê:

1. Sim, você pode, em princípio, contar números inteiros e ver que a contagem nunca termina.
2. Mas mesmo se você tivesse recursos suficientes, nunca poderia "contar infinitamente muitas coisas". Sempre haveria mais. Isso é o que "infinito" significa.
3. Pior, existem várias ordens ("cardinalidades") do infinito. Na maioria, você não pode contar, mesmo com tempo infinito, e talvez nem mesmo com infinitos outros recursos. Eles são realmente incontáveis. Eles literalmente não podem ser mapeados para uma linha numérica ou para o conjunto de números inteiros. Você não pode ordená-los de tal maneira que possam ser contados, mesmo em princípio.
4. Pior ainda, como você faz isso quando decide "em princípio" o que eu posso fazer, quando claramente não posso fazê-lo, ou mesmo a menor parte dele? Essa etapa parece suposta no estilo leigo, sem realmente ver os problemas ao fazê-la rigorosamente. Pode não ser trivial.
5. Por último, suponha que esse foi seu teste real, como no OP. Portanto, se eu pudesse "em princípio com recursos suficientes (tempo etc) contar infinitamente muitas coisas", seria o suficiente para você decidir que "entendia" o infinito (o que isso significa). Então, um computador com recursos suficientes (RAM, tempo, algoritmo) também poderia. Portanto, o teste em si seria satisfeito trivialmente por um computador se você desse ao mesmo critério.

Eu acho que talvez uma linha de lógica mais realista seja a de que o que essa pergunta realmente mostra, é que a maioria (provavelmente todos?) Os seres humanos realmente fazem não entendem o infinito. Portanto, entender o infinito provavelmente não é uma boa escolha de teste / requisito para IA.

Se você duvida disso, pergunte a si mesmo. Você honestamente, verdadeira e seriamente "entende" cem trilhões de anos (a vida possível de uma estrela anã vermelha)? Tipo, você pode realmente entender como é, passar por cem trilhões de anos, ou é apenas um 1 com muitos zeros? Que tal um femtossegundo? Ou um intervalo de tempo de cerca de 10 ^ -42 segundos? Você pode realmente "entender" isso? Uma escala de tempo comparada com a qual, um dos seus batimentos cardíacos, compara-se com um dos seus batimentos cardíacos, com um bilhão de bilhões de vezes a vida atual deste universo? Você pode realmente "entender o infinito", você mesmo? Vale a pena pensar em ......

Ao adicionar algumas regras para o infinito na aritmética (como infinito menos um grande número finito é infinito etc.), o computador digital pode parecer entender a noção de infinito.

Como alternativa, o computador pode simplesmente substituir o número n pelo valor em estrela do log . Em seguida, ele pode diferenciar os números em uma escala diferente e pode aprender que qualquer número com valor de log-star> 10 é praticamente equivalente ao infinito.

Eu acho que o conceito que está faltando na discussão, até agora, é representação simbólica. Nós, humanos, representamos e compreendemos muitos conceitos simbolicamente. O conceito de infinito é um ótimo exemplo disso. Pi é outro, junto com alguns outros números irracionais conhecidos. Existem muitos, muitos outros.

Como é, podemos facilmente representar e apresentar esses valores e conceitos, tanto para outros humanos quanto para computadores, usando símbolos. Computadores e humanos, podem manipular e argumentar com esses símbolos. Por exemplo, os computadores vêm realizando provas matemáticas há algumas décadas. Da mesma forma, estão disponíveis programas comerciais e / ou de código aberto que podem manipular equações simbolicamente para resolver problemas do mundo real.

Então, como o @JohnDoucette argumentou, não há nada de especial no Infinity versus muitos outros conceitos em matemática e aritmética. Quando atingimos a parede de tijolo representacional, apenas definimos um símbolo que representa "isso" e seguimos em frente.

Note que o conceito de infinito tem muitos usos práticos. Sempre que você tiver uma razão e o denominador "for" zero, o valor da expressão "se aproxima" do infinito. Isso não é uma coisa rara, realmente. Portanto, enquanto uma pessoa comum na rua não conhece essas idéias, muitos e muitos cientistas, engenheiros, matemáticos e programadores são. É bastante comum que o software lide com o Infinity simbolicamente há algumas décadas, agora, pelo menos. Por exemplo, Mathematica: http://mathworld.wolfram.com/Infinity.html

Uma máquina de Turing é o principal modelo matemático de computação dos modernos computadores digitais. Uma máquina de Turing é definida como um objeto que manipula símbolos, de acordo com certas regras (que representam o programa que a máquina de Turing executa), em uma fita infinita subdividida em células discretas. Portanto, uma máquina de Turing é um sistema de manipulação de símbolos que, dada uma determinada entrada, produz uma certa saída ou não para .

Se você assumir que o entendimento é equivalente à manipulação de símbolos , uma máquina de Turing é capaz de entender muitos conceitos, mesmo que a dificuldade de entender cada um desses conceitos seja variável, em relação ao tempo e ao espaço. (O ramo da ciência da computação teórica (TCS) que estuda a dificuldade de certos problemas computacionais é chamado teoria da complexidade computacional . O ramo da TCS que estuda a computabilidade de certos problemas é chamado teoria da computabilidade ).

$\mathbb{r}$$\mathbb{r}$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\mathbb{r}} = \infty$

Isso prova que uma máquina de Turing não pode manipular o conceito de infinito em todos os casos possíveis, porque uma máquina de Turing nunca pode experimentar determinados números reais. No entanto, uma máquina de Turing pode ser capaz de manipular o conceito de infinito em muitos casos (que envolvem conjuntos contáveis ); portanto, uma máquina de Turing pode ter um entendimento parcial do conceito de infinito, desde que o entendimento seja equivalente à manipulação de símbolos.

Os computadores não entendem "infinito" ou mesmo "zero", assim como uma chave de fenda não entende parafusos. É uma ferramenta feita para processar sinais binários.

De fato, o equivalente de um computador em wetware não é uma pessoa, mas um cérebro. Cérebros não pensam, pessoas pensam. O cérebro é apenas a plataforma com a qual as pessoas são implementadas. É um erro um tanto comum confundir os dois, pois a conexão deles tende a ser bastante inseparável.

Se você quisesse atribuir entendimento, pelo menos teria que mudar para programas reais em vez de computadores. Os programas podem ou não ter representações para zero ou infinito e podem ou não ser capazes de fazer manipulações hábeis de qualquer um. A maioria dos programas de matemática simbólica se sai melhor aqui do que alguém que precisa trabalhar com matemática como parte de seu trabalho.

John Doucette's answer cobre meus pensamentos sobre isso muito bem, mas achei que um exemplo concreto poderia ser interessante. Trabalho em uma IA simbólica chamada Cyc, que representa conceitos como uma rede de predicados lógicos. Muitas vezes gostamos de nos gabar de que Cyc "entende" as coisas porque pode elucidar as relações lógicas entre elas. Sabe, por exemplo, que as pessoas não gostam de pagar seus impostos, porque pagar impostos envolve perder dinheiro e as pessoas geralmente são avessas a isso. Na realidade, acho que a maioria dos filósofos concordaria que este é um "entendimento" incompleto do mundo, na melhor das hipóteses. Cyc pode conhecer todas as regras que descrevem pessoas, impostos e descontentamento, mas não tem nenhuma experiência real com nenhuma delas.

No caso do infinito, porém, o que mais há para entender? Eu argumentaria que, como um conceito matemático, o infinito não tem realidade além de sua descrição lógica. Se você pode aplicar corretamente todas as regras que descrevem o infinito, você grokked infinito. Se há algo que uma IA como Cyc não pode representar, talvez seja a reação emocional que esses conceitos tendem a evocar para nós. Como vivemos vidas reais, podemos relacionar conceitos abstratos, como o infinito, a conceitos concretos, como a mortalidade. Talvez seja essa contextualização emocional que faz parecer que há algo mais a "entender" sobre o conceito.

As perguntas que os computadores nunca conseguem responder - Wired (magazine)

Os computadores talvez não consigam alcançar o infinito: < https://www.nature.com/articles/35023282 >, não importa de fato entender.

Computação e computadores têm implicações para "limites rígidos de sistemas".

( https://en.wikipedia.org/wiki/Limits_of_computation )

Eu pensaria que um computador não conseguia entender o infinito principalmente porque os sistemas e partes de um sistema que estão dirigindo o computador são finitos.

O "conceito" do infinito é uma coisa a entender. Eu posso representá-lo com 1 símbolo (∞).

Como mencionei antes, os seres humanos entendem o infinito porque são capazes, pelo menos, contando números inteiros infinitos, em princípio.

Por essa definição, os humanos não entendem o infinito. Os seres humanos não são capazes de contar números inteiros infinitos. Eles morrerão (ficarão sem recursos / poder de computação) em algum momento. Provavelmente seria mais fácil fazer com que um computador conte até o infinito do que fazer com que um humano o faça.

Apenas alimento para o pensamento: e se tentarmos programar o infinito não em termos teóricos, mas em termos práticos? Assim, se considerarmos algo que um computador não pode calcular, dados seus recursos como infinito, ele cumprirá o objetivo. Programaticamente, ele pode ser implementado da seguinte maneira: se a entrada for menor que a memória disponível, não será infinito. Posteriormente, o infinito pode ser definido como algo que retorna erro de falta de memória em uma tentativa de avaliação.

É discutível se nós humanos entendermos o infinito. Acabamos de criar um novo conceito para substituir a matemática antiga quando encontramos esse problema. Na divisão por máquina infinita podemos entender da mesma maneira que nós:

double* xd = new double;
*xd =...;
if (*xd/y<0.00...1){
int* xi = new int;
*xi = (double) (*xd);
delete xd;

Se o ser humano pensa no infinito - imagina apenas um número enorme em seu contexto atual. Portanto, a chave para escrever o algoritmo é apenas encontrar uma escala com a qual a IA esteja trabalhando atualmente. E, BTW, esse problema deve ter sido resolvido anos atrás. As pessoas que projetam float / double devem estar conscientes do que estão fazendo. Mover sinal exponenta é operação linear em dobro.

Bem - só para tocar na questão das pessoas e do infinito - meu pai é matemático há 60 anos. Durante todo esse tempo, ele tem sido o tipo de nerd que prefere conversar e pensar sobre o assunto em vez de praticamente qualquer outra coisa. Ele ama o infinito e me ensinou sobre isso desde tenra idade. Fui apresentado pela primeira vez ao cálculo na 5ª série (não que tenha causado muita impressão). Ele adora ensinar e, com uma simples cartola, inicia uma palestra sobre qualquer tipo de matemática. Basta perguntar.

Na verdade, eu diria que existem poucas coisas com as quais ele está mais familiarizado do que o infinito ... talvez o rosto da minha mãe? Eu não contaria com isso. Se um humano pode entender alguma coisa, meu pai entende o infinito.

Os humanos certamente não entendem o infinito. Atualmente, os computadores não conseguem entender coisas que os humanos não conseguem porque os computadores são programados por humanos. Num futuro distópico, esse pode não ser o caso.

Aqui estão alguns pensamentos sobre o infinito. O conjunto de números naturais é infinito. Também foi provado que o conjunto de números primos, que é um subconjunto dos números naturais, também é infinito. Portanto, temos um conjunto infinito dentro de um conjunto infinito. Piora, entre quaisquer 2 números reais, há um número infinito de números reais. Dê uma olhada no link para o paradoxo de Hilbert do Grand Hotel para ver como o infinito pode ficar confuso - https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_paradox_of_the_Grand_Hotel

Eu acho que a propriedade que os humanos têm e que os computadores não têm, é algum tipo de processo paralelo que ocorre ao lado de todas as outras coisas que eles estão pensando e tenta atribuir uma avaliação de peso importante a tudo o que você está fazendo. Se você solicitar que um computador execute o programa: A = 1; ATÉ (A <0) a = a + 1; FIM;

O computador vai. Se você perguntar a um ser humano, outro processo entrará em interseção com "Estou entediado agora ... isso está levando séculos ... Vou iniciar um novo processo paralelo para examinar o problema, projetar onde a resposta está e procurar um caminho mais rápido para a resposta ... Então descobrimos que estamos presos em um loop infinito que nunca será "resolvido" .. e interceptamos uma interrupção que sinaliza o problema, mata o processo chato e vai tomar uma xícara de chá :-) Desculpe se isso é inútil.