Potência total emitida da luz da área difusa

Estou lendo o livro Renderização fisicamente baseada (Pharr, Humphreys). No capítulo sobre luzes, eles falam sobre aproximar a potência total emitida de diferentes tipos de luzes. Por exemplo, a potência total de uma luz pontual é intensity * 4 * pi. Aqui 4pi representa um ângulo sólido sobre toda a esfera. Isso faz sentido para mim porque intensidade * ângulo sólido = potência (ou fluxo radiante, se desejar). Você pode ver isso pelas unidades também. A intensidade é W / sr e o ângulo sólido é sr, portanto, W/sr * sr = We a potência é medida em watts. Ele faz check-out.

No entanto, não entendo o cálculo correspondente para o DiffuseAreaLight. Da minha compreensão do livro eles calculam a potência total emitida a partir de uma área difusa de luz como emitted radiance * area * pi. Como a unidade de radiação é W / (sr * m ^ 2), a área multiplicadora fornece W / sr. Isso me faz pensar que o fator pi representa um ângulo sólido - mas por que apenas 1pi? Eu teria imaginado 2pi, já que cada ponto na luz da área irradiaria em um hemisfério completo (correspondente a 2pi de estereótipos).

Você pode encontrar o código real mencionado no livro aqui .

O que estou entendendo mal? Por que as total emitted power = emitted radiance * area * piluzes da área difusa fazem sentido?

Radiance (em termos de fluxo) tem a seguinte definição:

$L_o = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\omega^\perp\mathrm{d}A} = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\cos{\theta} \mathrm{d}\omega \mathrm{d}A}$

Assim, para obter a potência total emitida, precisamos integrar a área da luz e o ângulo sólido projetado do hemisfério (na direção da superfície normal). O brilho das luzes da área em pbrt é constante. Isso nos dá:

$\Phi = \int_A \int_{H^2(\mathbf{n})} L_o\mathrm{d}\omega^\perp \mathrm{d}A = \int_A \int_{H^2(\mathbf{n})} L_o \cos\theta \mathrm{d}\omega \mathrm{d}A = \int_A L_o \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \sin\theta \cos\theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi \mathrm{d}A = \int_A L_o \pi \mathrm{d}A = A \cdot L_o \cdot \pi$

Penso que o pressuposto (talvez declarado talvez não, não tenho o texto à mão) é que o brilho é emitido em uma distribuição de cosseno-lóbulo. Isso significa que há queda proporcional ao cosseno do ângulo entre o normal do emissor e a direção da emissão.

Se você olhar no compêndio de iluminação global , em Geometria Hemisférica, conjunto de equações (30), verá que a integral sobre o hemisfério, modulada por um lobo cosseno, é exatamente pi.