Quanto de manjericão estamos falando e por quanto tempo?
Eu não costumo guardar folhas frescas na geladeira, pois é a única coisa que cresce bem no meu jardim, mas você pode pegar um pedaço de papel toalha, estender as folhas, enrolá-las e colocá-las na geladeira - vai secar em vez de apodrecer, para que você não precise arremessar o todo se esquecer.
Se você tem um lote enorme de manjericão (na última colheita, quando eles pedem avisos de geada no noticiário), eu componho um lote grande de pesto, menos o queijo, e congelo-o em bandejas de cubos de gelo ou latas de muffin. (não use bandejas plásticas para cubos de gelo que você também usa para a água, ou você terá gelo no alho ... eu mantenho um conjunto para congelar caldo, pesto e outros)
Você também pode escaldar o manjericão em água fervente por alguns segundos, esfriar em água gelada, escorrer e colocá-lo em uma panela com azeite de oliva frio e colocá-lo logo abaixo da panela e esperar por um ... talvez 10? 15 minutos? Tensão, mamadeira e, se bem esticada, ela permanecerá na geladeira durante todo o inverno.