Recentemente, encontrei em um artigo [1] uma versão simétrica especial do SAT chamada 2/2/4-SAT . Mas existem muitas variantes completas por aí, por exemplo: MONOTONE NAE-3SAT , MONOTONE 1-IN-3-SAT , ...$\text{NP}$

Algumas outras variantes são tratáveis: - , Planar-NAE- , ...SAT $2$$\text{SAT}$$\text{SAT}$

Existem documentos de pesquisa (ou páginas da web) que classificam todas as variantes (estranhas) que provaram ser completas (ou em )?NP $\text{SAT}$$\text{NP}$$\text{P}$

1. Encontrar uma solução mais curto para o x extensão da 15-Puzzle é intratável$N$$N$ por D. Ratner e M. Warmuth (1986)

Resultados clássicos e bem conhecidos

Como mencionado por Standa Zivny na questão relacionada da CSTheory, quais problemas no SAT são fáceis? , há um resultado bem conhecido de Schaefer de 1978 (citando a resposta de Zivny):

Se o SAT for parametrizado por um conjunto de relações permitido em qualquer instância, haverá apenas 6 casos tratáveis: 2-SAT (ou seja, todas as cláusulas são binárias), Horn-SAT, Horn-SAT, dual-Horn-SAT, affine-SAT (soluções lineares) equações em GF (2)), 0-válido (relações satisfeitas pela atribuição all-0) e 1-válido (relações satisfeitas pela atribuição all-1).

Planar-3SAT significa que a versão planar do 3SAT é conhecida por ser -completa. Ver D. Lichtenstein, fórmulas planares e seus usos, 1981 . A versão não planar do 3SAT é, obviamente, o bem conhecido problema clássico clássico .N $\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$

O 3SAT não totalmente igual ( NAE-3SAT ) é completo. No entanto, a versão planar está em como mostra Moret, o Planar NAE3SAT está em P, 1988 .$\mathcal{NP}$$\mathcal{P}$

Variantes mais recentes e / ou "estranhas"

$k$Monotônico colorido NAE-3SAT

Aqui está uma variante mais exótica ou estranha, um problema de decisão chamado Monotone colorido NAE-3SAT :$k$

Dada uma expressão monótona de CNF com exatamente três variáveis ​​distintas em cada cláusula, de modo que o gráfico de restrição seja k-colorido, a expressão não é totalmente igual?G ( ϕ ) $\phi$$G(\phi)$$\phi$

Aqui, o gráfico de restrição correspondente é um gráfico não direcionado simples associado a seguinte forma: Cada variável de é um vértice em e dois vértices têm uma aresta entre eles se aparecerem em alguma cláusula.ϕ ϕ $G(\phi)$$\phi$$\phi$$G$

Para o problema está em . Para , no entanto, é completo. Veja P Jain, em uma variante do Monotone NAE-3SAT e o problema de corte sem triângulo, 2010 .P k = 5 N $k=4$$\mathcal{P}$$k=5$$\mathcal{NP}$

Variantes lineares de CNF

Embora talvez não seja exótico ou estranho, algumas variantes conhecidas, como NAE-SAT ( SAT não totalmente igual) e XSAT ( Exat SAT; exatamente um literal em cada cláusula para 1 e todos os outros literais para 0), do problema de satisfação foram investigados na configuração linear . Cláusulas de uma fórmula linear aos pares têm no máximo uma variável em comum. Curiosamente, o status de complexidade não segue o Teorema de Schaefer.

NAE-SAT e XSAT permanecem completos quando restritos a fórmulas lineares. Além disso, NAE-SAT e XSAT ainda são -completa em fórmulas contendo apenas cláusulas de comprimento pelo menos , para cada número inteiro fixo positivo . Eles são completos para fórmulas lineares monótonas (sem literais positivos). No entanto, o NAE-SAT é decidível em tempo polinomial em fórmulas lineares exatas, onde cada par de cláusulas distintas tem exatamente uma variável em comum.N P k k ≥ 3 N $\mathcal{NP}$$\mathcal{NP}$$k$$k \geq 3$$\mathcal{NP}$

Alguns aspectos adicionais sobre a complexidade do NAE-SAT e XSAT sob certas suposições provavelmente ainda estão em aberto. Para obter mais detalhes, consulte, por exemplo, Porschen e Schmidt, Em algumas variantes de SAT sobre fórmulas lineares, 2009 e Porschen et al., Resultados de complexidade para problemas XSAT lineares, 2010 .