Como ler as regras de digitação?

Comecei a ler cada vez mais trabalhos de pesquisa em idiomas. Acho muito interessante e uma boa maneira de aprender mais sobre programação em geral. No entanto, há geralmente vem uma seção onde eu sempre lutar com (Tomemos por exemplo a terceira parte deste ), pois me falta a base teórica em ciência da computação: Regras Tipo.

Existem bons livros ou recursos on-line disponíveis para começar nesta área? A Wikipedia é incrivelmente vaga e realmente não ajuda um iniciante.

Na maioria dos sistemas de tipos, as regras de tipo trabalham juntas para definir julgamentos do formulário:

$$\Gamma\vdash e:\tau$$

Isto indica que no contexto a expressão e tem o tipo τ . Γ é um mapeamento das variáveis ​​livres de e para seus tipos.$\Gamma$$e$$\tau$
$\Gamma$$e$

Um sistema de tipos consistirá em um conjunto de axiomas e regras (um sistema formal de regras de inferência , como Raphael aponta).

Um axioma é da forma

$$\dfrac{}{\Gamma \vdash e:\tau}$$

Isto indica que o julgamento detém (sempre).$\Gamma \vdash e:\tau$

Um exemplo é

$$\dfrac{}{x:\tau\vdash x:\tau}$$

que afirma que, sob a suposição de que o tipo de variável é τ , a expressão x tem o tipo τ .$x$$\tau$$x$$\tau$

As regras de inferência pegam fatos que já foram determinados e constroem fatos maiores a partir deles. Por exemplo, a regra de inferência

$$\dfrac{\Gamma\vdash e_1:\tau\to\tau' \quad \Gamma\vdash e_2:\tau}{\Gamma\vdash e_1\ e_2:\tau'}$$

diz que se eu tiver uma derivação do fato e uma derivação do fato y- ⊢ e 2 : $\Gamma\vdash e_1:\tau\to\tau'$$\Gamma\vdash e_2:\tau$ , então eu posso obter uma derivação do fato . Nesse caso, esta é a regra para digitar o aplicativo de funções.$\Gamma\vdash e_1\ e_2:\tau'$

Existem duas maneiras de ler esta regra:

• de cima para baixo - dadas duas expressões (uma função e outra expressão) e algumas restrições em seu tipo, podemos construir outra expressão (a aplicação da função à expressão) com o tipo fornecido.
• bottom-up - dada uma expressão que é, nesse caso, a aplicação de uma função a alguma expressão, a maneira como ela é digitada é digitando primeiro as duas expressões, garantindo que seus tipos atendam a algumas restrições, a saber, que a primeira é uma tipo de função e que o segundo tenha o tipo de argumento da função.

Algumas regras de inferência também manipulam adicionando novos ingredientes (visualizados de baixo para cima). Aqui está a regra para a atração- λ :$\Gamma$$\lambda$

$$\dfrac{\Gamma x:\tau\vdash e:\tau'}{\Gamma\vdash \lambda x.e:\tau\to \tau'}$$

As regras de inferência são aplicadas indutivamente com base na sintaxe da expressão que está sendo considerada para formar uma árvore de derivação. Nas folhas da árvore (no topo) haverá axiomas e os galhos serão formados aplicando regras de inferência. No final da árvore está a expressão que você está interessado em digitar.

Por exemplo, uma derivação da digitação da expressão é$\lambda f.\lambda x.f\ x$

$$\dfrac{\dfrac{}{f:\tau\to\tau',x:\tau\vdash f:\tau\to\tau'} \qquad \dfrac{}{f:\tau\to\tau',x:\tau\vdash x:\tau}} {\dfrac{f:\tau\to\tau',x:\tau\vdash f\ x:\tau'}{ \dfrac{f:\tau\to\tau'\vdash \lambda x.f\ x:\tau'}{\vdash \lambda f.\lambda x.f\ x:\tau'}}}$$

• Tipos e linguagens de programação por Benjamin Pierce
• Fundamentos práticos para linguagens de programação por Robert Harper

Ambos os livros são muito abrangentes, mas começam lentamente, construindo uma base sólida.

Há um bonito tutorial on-line interativo sobre cálculo sequencial, que pode ajudar a criar algumas intuições e a sentir como a inferência funciona: um tutorial interativo do cálculo sequencial

Na página da Wikipedia, recomenda-se " Type Systems, Luca Cardelli, ACM Computing Surveys ", que é uma pesquisa de duas páginas que pode ajudá-lo a entender como ler uma regra. De qualquer forma, como ler uma regra é perfeitamente explicado nessa página da Wikipedia (ou melhor ainda na pesquisa de 2 páginas). No entanto, para entender tudo, você precisa entender o que é um sistema de digitação (composto por várias regras), para o qual o artigo da Wikipedia " Sistema de tipos " é um bom começo (e você tem vários livros na seção " Referências ") página se você quiser ir mais longe).