É realmente a teoria dos conjuntos elementares. Você sabe o que é uma relação reflexiva, o que é uma relação simétrica e o que é uma relação transitiva, certo? Uma relação de equivalência é aquela que satisfaz todas as três dessas propriedades.
Você provavelmente já ouviu falar do "fechamento transitivo" de uma relação ? Bem, não é nada, mas a relação menos transitivo que inclui . É isso que significa o termo "encerramento". Da mesma forma, você pode falar sobre o "fechamento simétrico" de uma relação , o "fechamento reflexivo" de uma relação e o "fechamento de equivalência" de uma relação exatamente da mesma maneira.R R R RRRRRR
Com alguma reflexão, você pode se convencer de que o fechamento transitivo de é . O fechamento simétrico é . O fechamento reflexivo é (onde é a relação de identidade). R ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ ... R ∪ R - 1 RRR∪R2∪R3∪…R∪R−1R∪II
Usamos a notação para . Este é o fechamento transitivo reflexiva de . Agora observe que se é simétrico, cada uma das relações , , , , ... é simétrica. Portanto, também será simétrico.R∗I∪R∪R2∪…RRIRR2R3R∗
Portanto, o fechamento de equivalência de é o fechamento transitivo de seu fechamento simétrico, ou seja, . Isso representa uma sequência de etapas, algumas das quais são etapas avançadas ( ) e algumas etapas anteriores ( ).R(R∪R−1)∗RR−1
Diz-se que a relação possui a propriedade Church-Rosser se o fechamento da equivalência for o mesmo que a relação composta . Isso representa uma sequência de etapas nas quais todas as etapas avançadas vêm primeiro, seguidas por todas as etapas anteriores. Portanto, a propriedade Church-Rosser diz que qualquer intercalação de etapas para a frente e para trás pode ser realizada de maneira equivalente executando-se as etapas para a frente primeiro e para trás depois.RR∗(R−1)∗