O que é indução-indução?

O que é indução-indução ?

Os recursos que encontrei são:

o livro HoTT , no final do capítulo 5.7.
Artigo do nLab
um artigo chamado definições indutivo-indutivas
este post do blog também menciona tipos indutivos-indutivos

As duas primeiras referências são muito breves para mim e as duas últimas são muito técnicas. Alguém pode explicar isso em termos leigos? Seria melhor se houver código Agda.

type-theory induction inductive-datatypes

— 盛安安
fonte

Há código Agda na sua quarta citação.

— Gilles 'SO- stop be evil'

Claro, mas seria super difícil ler essa enorme quantidade de código. E (eu acho) super fácil apenas vendo 1 ou 2 exemplos.

— 盛安安

Suplementar 03/10/2016: Misturei indução-indução e indução-recursão (não a primeira vez que fiz isso!). Minhas desculpas pela bagunça. Eu atualizei a resposta para cobrir os dois.

Acho que as explicações no artigo de Forsberg & Setzer iluminam uma axiomatização finita de definições indutivo-indutivas .

Indução-recursão

Uma definição indutivo-recursiva é aquela em que definimos um tipo e uma família de tipos simultaneamente de uma maneira especial: $A$ $B : A \to \mathsf{Type}$

$A$ é definido como um tipo indutivo.
$B$ é definido por recursividade em . $A$
Fundamentalmente, a definição de pode usar . $A$ $B$

Sem o terceiro requisito, poderíamos primeiro definir e, em seguida, separadamente . $A$ $B$

Aqui está um exemplo de bebê. Defina indutivamente para ter os seguintes construtores: $A$

$a : A$
$\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

A família de tipos é definida por $B$

$B(a) = \mathtt{bool}$
$B(\ell(x, f)) = \mathtt{nat}$ .

Então, o que está em ? Primeiro de tudo, temos um elemento Por causa disso, existe um tipo que é definido como . Portanto, podemos formar dois novos elementos e em . Agora temos , para que também possamos formar para cada os elementos e Podemos continuar assim . A próxima etapa será que, desde $A$

a : A .

$a : A.$

B (a)

$B(a)$

b o o l

$\mathtt{bool}$

ℓ (a, f a l s e)

$\ell(a, \mathtt{false})$

ℓ (a, t r u e)

$\ell(a, \mathtt{true})$

A

$A$

B (ℓ (a, f a l s e)) = B (ℓ (a, t r u e)) = n a t

$B(\ell(a, \mathtt{false})) = B(\ell(a, \mathtt{true})) = \mathtt{nat}$

n : n a t

$n : \mathtt{nat}$

ℓ (ℓ (a, f a l s e), n) : A

$\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n) : A$

ℓ (ℓ (a, t r u e), n) : A

$\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n) : A$

B (ℓ (ℓ (a, t r u e), n)) = n a t

$B(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n)) = \mathtt{nat}$ existe para cada o elemento e o elemento Podemos continuar. Um pouco de pensamento revela que é mais ou menos duas cópias de listas de números naturais, compartilhando uma lista vazia comum. Vou deixar isso como um exercício para descobrir o porquê.

m : n a t

$m : \mathtt{nat}$

ℓ (ℓ (ℓ (a, t r u e), n), m) : A

$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n), m) : A$

ℓ (ℓ (ℓ (a, f a l s e), n), m) : A

$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n), m) : A$

A

$A$

Indução-indução

Uma definição indutiva-indutiva também define um tipo e, simultaneamente, uma família de tipos : $A$ $B : A \to \mathsf{Type}$

$A$ é definido indutivamente
$B$ é definido indutivamente e pode se referir a $A$
Fundamentalmente, pode referir-se a . $A$ $B$

É importante entender a diferença entre indução-recursão e indução-indução. Na indução-recursão definimos , fornecendo equações da forma onde é um construtor para . Numa definição indutiva-indutivo definimos , fornecendo construtores para formar os elementos de . $B$

B (c (\dots)) = \dots

$B(\mathsf{c}(\ldots)) = \cdots$

c (\dots)

$\mathsf{c}(\ldots)$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

Vamos reformular nosso exemplo anterior como indução-indução. Primeiro, temos o tpye dado indutivamente : $A$

$a : A$
$\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

A família de tipos é definida pelos seguintes construtores: $B$

$\mathsf{Tru} : B(a)$
$\mathsf{Fal} : B(a)$
se e então $x : A$ $y : B(x)$ $\mathsf{Zer} : B(\ell(x,y))$
se e e então . $x : A$ $y : B(x)$ $z : B(\ell(x,y))$ $\mathsf{Suc}(z) : B(\ell(x,y))$

Como você pode ver, definimos regras para gerar os elementos de que equivale a dizer que é (isomófico para) os booleanos, e é (isomórfico para) os números naturais . $B$ $B(a)$ $B(\ell(x,y))$

— Andrej Bauer
fonte

por que diabos alguém iria definir tais tipos de dados D:

— 盛安安

Para ensinar o que é um tipo indutivo-indutivo. Eu poderia dar um exemplo real, ou seja, um universo de tipos, mas isso seria confuso.

— Andrej Bauer

@AndrejBauer Parece-me mais uma recursão de indução. Indução-indução é quando a família de tipos é definida como um tipo indutivo .

— Gallais

Opa, você está absolutamente certo. Eu resolvo isso.

— Andrej Bauer

O domínio de deveria ser do tipo Sigma, em vez de Pi?

ℓ

$\ell$

— Dan Christensen