Decidibilidade da igualdade de expressões radicais

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Considere os termos criados a partir dos elementos de e as operações , e para cada número natural . Dada a promessa de que dois termos são bem-formados - isto é, não há divisão por zero e nem raízes de números negativos - existe um algoritmo que decide quando os dois termos são iguais? $\mathbb Q$ $+,\times,-,/$ $\sqrt[n]{\,\cdot\,}$ $n$

Uma questão relacionada foi postada aqui , mas é mais geral (pois permite exponenciação arbitrária, e não apenas por números racionais).

— Mees de Vries
fonte

Quais são seus pensamentos? O que você tentou e onde ficou preso?

— Raphael

@ Rafael, para ser claro, isso não é tarefa de casa ou pesquisa - é apenas uma questão de mente ociosa. Ainda não tenho pensamentos não triviais sobre isso. Obviamente, isso é trivial sem as raízes. Tenho certeza de que o conjunto de -polynomials no º raízes de números inteiros tem igualdade decidable, porque a verificação independência -linear de tais raízes deve ser fácil (?). Mas eu estou completamente preso quando se trata de radicais aninhados, ou mesmo frações de tais "polinômios radicais".

Q

$\mathbb Q$

n

$n$

Q

$\mathbb Q$

— Mees de Vries

Vamos continuar esta discussão no chat .

— Raphael

3

Sim. Pelo análogo em número real da transformação de Tseytin , isso se
reduz à teoria existencial dos reais , que está no PSPACE por

página 291 e parte inferior da página 290 deste artigo
e
as respostas a esta pergunta

.

Para todos os números reais , e são ambos bem formado e se e somente se , então o teste a desigualdade se reduz ao seu problema. Não conheço nenhum limite superior melhor para testar desigualdades de somas de raízes quadradas do que este artigo , que o coloca na hierarquia de contagem . $x$ $\sqrt{x^2}$ $x$ $\sqrt{x^2} = x$ $0\leq x$

— Comunidade
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Legal, mas por que você coloca a nova linha antes do ponto? Tentei compilar seu código de espaço em branco, mas sem sorte.

— Mal

Obrigado pela resposta! Esperamos que as referências cumpram os requisitos acadêmicos mínimos e sejam o mais robustas possível ao longo do tempo. Reserve um tempo para melhorar sua postagem nesse sentido. Reunimos alguns conselhos aqui . Obrigado!

— DW

3

Os números algébricos são soluções de polinômios com coeficientes racionais.
$+,\times,-,/$ de números algébricos resultam em números algébricos porque os números algébricos formam um campo ( 1 ). Isso significa que os radicais aninhados também são números algébricos ( 2 ).
Radicais aninhados podem ser despojados pelo algoritmo ( 3 , 4 ).
Cada número algébrica de grau pode ser representado de forma única como um por matriz de inteiros sob uma base adequada (por exemplo, ). Essa representação permite a avaliação simbólica de por adição de matriz, multiplicação e inversa (p.159 de 5 , 6 , 7 ). $n$ $n$ $n$ $[1,x, (x^2+1)/2]$ $+,\times,-,/$
Dois termos são iguais se suas representações únicas forem idênticas.

— ponto ponto Ponto
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Eu sinto que a parte importante / interessante aqui é o algoritmo de desestimulação; o resto funciona (mesmo sem o algoritmo de desestímulo, pois os radicais aninhados são claramente algébricos, mesmo que você não saiba como negá-los), mas é como um canhão para voar.

— Mees de Vries

Obrigado pela resposta! Esperamos que as referências cumpram os requisitos acadêmicos mínimos e sejam o mais robustas possível ao longo do tempo. Reserve um tempo para melhorar sua postagem nesse sentido. Reunimos alguns conselhos aqui . Obrigado!

— DW