Provar que uma árvore binária tem no máximo

Estou tentando provar que uma árvore binária com nós tem no máximo leaves. Como eu faria isso com indução? $n$ $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Para as pessoas que estavam seguindo a pergunta original sobre pilhas, ela foi movida para aqui .

— varatis
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Primeiro, observe que podemos usar o LaTeX aqui. Clique em "editar" para ver como eu fiz. Em segundo lugar, não vejo indução. Você está jogando alguns números por aí, mas não existe uma estrutura de prova e nenhuma relação com as pilhas. Você pode melhorar isso? E, finalmente, a afirmação está errada: uma lista classificada cumpre a propriedade heap e possui apenas uma folha. Você deixou de lado algumas suposições?

— Raphael

A edição de @ Kaveh's é o que você tinha em mente, ou seja, "no máximo"?

— Raphael

@ Rafael, lendo a pergunta novamente, acho que pode ser sobre montões onde cada nó interno tem exatamente dois filhos (nesse caso, a pergunta original faz sentido e a afirmação está correta, ou algo semelhante).

— precisa

@ Kaveh Ah sim, vejo sua confusão. Nós do heap ter no máximo duas crianças (daí a tag binário-árvore)

— varatis

Entendo. Com a alegação formulada com precisão, de fato não há necessidade de suposições adicionais. A propriedade é válida para todas as árvores binárias.

— Raphael

Respostas:

Suponho agora que a pergunta seja a seguinte:

Dada uma árvore binária com nós, prove que ela contém no máximo leaves. $n$ $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Vamos trabalhar com a definição de árvore . Para árvore tal, vamos o número de nós em e o número de folhas em . $\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$ $T$ $n_T$ $T$ $l_T$ $T$

Você está correto ao fazer isso por indução, mas precisará de indução estrutural que segue a estrutura em árvore. Para as árvores, isso geralmente é feito como uma indução completa sobre a altura das árvores. $h(T)$

A âncora de indução possui duas partes. Primeiro, para , temos com ; a reivindicação claramente vale para a árvore vazia. Para , isto é, , que têm semelhante $h(t)=0$ $T=\mathrm{Empty}$ $l_T=n_T=0$ $h(t)=1$ $T = \mathrm{Leaf}$ , então a reivindicação é válida para folhas. $l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$

A hipótese de indução é: Suponha que a reivindicação seja válida para todas as árvores (binárias) com , arbitrário, mas fixo. $T$ $h(T)\leq k$ $k\geq 1$

Para a etapa indutiva, considere uma árvore binária arbitrária com . Como , e . Como e também são árvores binárias (caso contrário, não seria) e $T$ $h(T)=k+1$ $k\geq 1$ $T=\mathrm{Node}(L,R)$ $n_T = n_L+ n_R+1$ $L$ $R$ $T$ , a hipótese de indução se aplica e tem $h(L),h(R)\leq k$

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

Como todas as folhas de estão em ou , temos que $T$ $L$ $R$

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

A desigualdade marcado com pode ser verificada por (quatro vias) caso distinção sobre se . Pelo poder da indução, isso conclui a prova. $(*)$ $n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$

Como exercício, você pode usar a mesma técnica para provar as seguintes afirmações:

Toda árvore binária perfeita de altura tem nós. $h$ $2^h-1$
Toda árvore binária completa possui um número ímpar de nós.

— Rafael
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Estou um pouco confuso com a pergunta. Se você está interessado em árvores com grau máximo de , que é o que a Wikipedia diz que deseja, encontramos o problema de que uma única aresta tem nós folhas, mas . Enfim, aqui está algo próximo que tem um argumento fácil. $3$ $n=2$ $n=2$ $n/2 = 1$

Seja uma árvore com nós e folhas. Como é uma árvore, existem arestas, e as conta duas vezes, vemos que que diz que e isso é apertado nas duas Exemplo -vertex acima. Eu acho que se você quiser assumir que existe uma raiz de grau dois , então você pode refinar esse argumento para dar $T$ $n$ $L$ $T$ $n-1$

2 n - 2 \leq eu + 3 (n - eu)

$2n - 2 \le L + 3(n - L)$

2 eu \leq n + 2

$2L\le n + 2$

n \geq 3

$n\ge 3$

que é o que você está procurando, e isso é apertado quando a árvore está cheia.

2 eu \leq n + 1

$2L \le n + 1$

— Louis
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Eu acho que silenciosamente assumimos árvores enraizadas aqui; A Wikipedia também o faz.

— Raphael

A Wikipedia meio que equivoca, dizendo: "Fora da árvore, geralmente há uma referência ao nó" raiz "(o ancestral de todos os nós), se existir." Enfim, esse argumento parece valer a pena ser anotado, pois é diferente e bastante fácil.

— Louis

Se você ler, todas as arestas são direcionadas, elas falam de "filhos" e "pais". Isso não faz sentido em árvores não enraizadas. Em conseqüência, uma folha seria um nó com outdegree 0.

— Raphael