O que se entende por teoria das categorias ainda não sabe como lidar com funções de ordem superior?

Ao ler a resposta de Uday Reddy a Qual é a relação entre os functores na SML e na teoria das categorias? Uday estados

A teoria das categorias ainda não sabe como lidar com funções de ordem superior. Algum dia, será.

Como eu pensava que a teoria das categorias pudesse servir de base para a matemática, deveria ser possível derivar todas as funções matemáticas e de ordem superior.

Então, o que se entende por teoria das categorias ainda não sabe como lidar com funções de ordem superior? É válido considerar a teoria das categorias como fundamento da matemática?

functional-programming category-theory

— Guy Coder
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Essa discussão seria perfeita para cstheory.stackexchange.com .

— Martin Berger

Respostas:

O problema com funções de ordem superior é simples o suficiente para declarar.

Um construtor de tipo como não é um functor. Deveria ter sido. $T(X) = [X \to X]$
Uma função polimórfica como não é uma transformação natural. Deveria ter sido. ${\it twice}_X : T(X) \to T(X) = \lambda f.\, f \circ f$

Se você ler o artigo de teoria das categorias original de Eilenberg e MacLane , (PDF), as intuições apresentadas apresentam esses casos. Mas a teoria deles não. O trabalho deles foi ótimo para 1945! Mas hoje precisamos de mais.

A reação dos teóricos da categoria a essas questões é um pouco desconcertante. Eles agem como se operações de ordem superior formem uma idéia de Ciência da Computação; eles não têm importância para a matemática. Se é assim, um fundamento da matemática não seria bom o suficiente para um fundamento da ciência da computação.

Mas não acredito seriamente nisso. Acredito que funções de ordem superior também seriam importantes para a matemática. Mas eles não foram seriamente explorados. Espero que, algum dia, eles sejam explorados e que as limitações da teoria das categorias sejam realizadas.

— Uday Reddy
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É incrível que eles não considerem interessantes as funções de ordem superior, considerando as profundidades que exploram na álgebra de maior dimensão, na teoria das categorias n e outras. Comparativamente, funções de ordem superior parecem tão pé-no-chão. Especialmente, se essa terra envolver programas Haskell.

— 21813 Dave Clarke

@DaveClarke. Penso que o que eles gostariam de ver é um exemplo convincente como o que Eilenberg e MacLane começam. Todos os espaços vetoriais

dimensionais são isomórficos entre si. Portanto, um espaço vetorial é isomórfico ao seu próprio dual:

. No entanto, esses isomorfismos não são "naturais". (Eles usam bases particulares - "dependentes da representação" em nossa fala.) Por outro lado, o isomorfismo

é "natural", funciona da mesma maneira para todas as bases. Para pedir uma Teoria da categoria 2.0, precisamos de um exemplo matador semelhante!

n

$n$

A ≅ A^{*}

$A \cong A^*$

A ≅ A^{* *}

$A \cong A^{**}$

— Uday Reddy

T (X)

$T(X)$

A \to B

$A \to B$

+1 Isso é realmente interessante. Você conhece alguma referência que discuta mais esses problemas?

— Kaveh

λ

$\lambda$

π

$\pi$

π

$\pi$

[Esta segunda resposta apresenta um esboço de como pode ser uma "Teoria da categoria 2.0", que lida corretamente com funções de ordem superior.]

Já sabemos há muito tempo como lidar com funções de ordem superior no raciocínio sobre elas.

Quando uma estrutura algébrica possui operações de ordem superior, os homomorfismos não funcionam. Em vez disso, devemos usar relações lógicas . Em outras palavras, devemos passar de " funções preservando estrutura" para " relações preservando estrutura".
Para falar sobre transformações "uniformes" ou "dadas simultaneamente" em tipos de ordem superior, a naturalidade não funciona. Devemos usar a parametridade relacional . Em outras palavras, devemos passar de "famílias preservando todos os morfismos " para "famílias preservando todas as relações lógicas ".
$\to$

Uma rápida introdução a essas questões está na seção de Peter O'Hearn sobre "Parametricidade relacional" em domínios e semântica denotacional: história, realizações e problemas em aberto (CiteSeerX) .

A primeira tentativa de construir uma "Teoria da categoria 2.0" está na Parametridade e variáveis locais de O'Hearn e Tennent (CiteSeerX) .
Tese de doutorado de Brian Dunphy: Parametridade como noção de uniformidade em gráficos reflexivos (CiteSeerX) baseia-se em sua estrutura e axiomatiza a estrutura relacional necessária para obter resultados de parametridade. Eu recomendaria a tese de Dunphy para obter uma boa visão geral de todos os problemas.
Por uma questão de completude, devo mencionar também a tese de doutorado de Claudio Hermida: fibrações, predicados lógicos e indeterminados (PDF) , que foi o primeiro a estudar relações lógicas em um cenário teórico de categoria, mas seu tratamento talvez seja técnico demais para a maioria das pessoas.

Também devo acrescentar que o raciocínio sobre o estado é onde as funções de ordem superior aparecem com destaque. Os teóricos dos autômatos foram os primeiros a reconhecer que os homomorfismos não funcionam corretamente, em um artigo histórico chamado Produtos de Autômatos e o Problema da Cobertura . Eles usaram termos como "homomorfismos fracos" e "relações de cobertura" para se referir a relações lógicas. No devido tempo, termos como "simulação" e "bisimulação" foram usados para se referir a eles. Artigo de pesquisa de Davide Sangiorgi: Sobre as origens da bisimulação e coindução abrange toda essa história inicial e muito mais.

A necessidade de raciocínio relacional surge repetidamente no raciocínio sobre o estado, em particular na programação imperativa . Muito poucas pessoas percebem que o humilde ponto e vírgula é uma operação de ordem superior. Portanto, você não pode decolar pensando em programas imperativos sem saber como lidar com funções de ordem superior. Continuamos ignorando as questões de estado e programação imperativa na crença equivocada de que a matemática tem todas as respostas. Portanto, se os matemáticos não entendem o estado, não deve ser bom! Nada poderia estar mais longe da verdade. O estado está no coração da Ciência da Computação. Avançaremos a ciência em geral, mostrando às pessoas como lidar com o estado!

— Uday Reddy
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@ BuyCoder, acho que é uma boa ideia. A propósito, acho que essa e aquela pergunta estariam no tópico também da Ciência da Computação Teórica, caso você preferisse publicá-la lá.

— Kaveh

Após discutir com Uday, uma nova pergunta não será especificamente solicitada para esta segunda resposta. :)

— Guy Coder

Estado é relativista.

— Shelby Moore III