Esse problema de viagem é ideal sob prazos NP-difíceis nas árvores?

Um de meus amigos me pergunta o seguinte problema de agendamento na árvore. Eu acho que é muito limpo e interessante. Existe alguma referência para isso?

Problema: existe uma árvore , cada aresta tem um custo de deslocamento simétrico de 1 . Para cada vértice , há uma tarefa que precisa ser executada antes do prazo . A tarefa também é indicada como . Cada tarefa possui o valor uniforme 1. O tempo de processamento é 0 para cada tarefa , ou seja, visitar uma tarefa antes que seu prazo seja igual ao seu término. Sem perda de generalidade, deixe denotar a raiz e assumindo que não há tarefa localizada em . Existe um veículo na no tempo 0. Além disso, assumimos que para cada vértice , $T(V,E)$ $v_i$ $d_i$ $v_i$ $v_0$ $v_0$ $v_0$ $d_i \ge dep_i$ $dep_i$ representa a profundidade de . Isso é evidente, o vértice com prazo inferior à sua profundidade deve ser considerado um erro. O problema pede para encontrar um agendamento que conclua o maior número possível de tarefas. $v_i$

Progresso:

Se a árvore estiver restrita a um caminho, será em através de programação dinâmica. $\mathsf{P}$
Se a árvore for generalizada para um gráfico, ela estará em concluída. $\mathsf{NP}$
Eu tenho um algoritmo ganancioso muito simples, que é acreditado por 3 fatores. Eu não provei isso completamente. Agora, estou mais interessado nos resultados difíceis de NP. :-)

Obrigada pelo Conselho.

ds.algorithms graph-algorithms np-hardness

— Peng Zhang
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Em um gráfico completo, a tarefa seria fácil, certo? Basta usar um algoritmo guloso simples ...

— Joe

@ Joe: Sim. Como toda borda precisa de uma unidade viajando, não há preferência entre "encruzilhadas". Você ainda está interessado neste problema, se sim. talvez possamos conversar por e-mail. :-)

— Peng Zhang

E se todos os prazos forem iguais e / ou apenas perguntarmos se todas as tarefas podem ser concluídas?

— 22612 domotorp

@domotorp: Se pedir para concluir todas as tarefas com um prazo, a resposta é SIM se e somente se o prazo uniforme. Basta pesquisar primeiro a profundidade. Quanto ao problema ideal no caso, Não sei se é fácil. Existem muitas variantes sobre esse problema, como considerar se os prazos receberão valores de um conjunto finito cuja cardinalidade é uma constante? Muito obrigado pelo seu comentário.

d \geq | V |

$d\ge |V|$

d < | V |

$d< |V|$

— Peng Zhang

Eu diria que NP-hard vê o zoológico de agendamento , exceto se eu não entendi o seu problema.

— Gopi

Respostas:

Não tenho certeza se esta é sua resposta (veja abaixo), mas um pouco demais para os comentários.

Eu pensei que seu problema era algo como: , onde: $(P|tree;p_i=1|\Sigma T_i)$

$P$ significa processadores homogêneos idênticos,
"árvore" significa restrição de precedência na forma de uma árvore,
$p_i=1$ significa que o peso das tarefas é igual a 1 e
$\Sigma T_i$ significa minimizar a soma do atraso (ou seja, o número de tarefas que terminam após o prazo).

Se for esse o caso, seu problema é difícil: você pode vê-lo como uma generalização de Minimizando o atraso total em uma única máquina com restrições de precedência . De fato, este documento afirma que, para várias cadeias lineares, é NP-hard em um único processador. A transformação fácil é levar as árvores da forma uma raiz e cadeias lineares a partir da raiz.

No entanto, estou surpreso porque você parece dizer que, no caso de uma única cadeia linear, você usaria a Programação Dinâmica. Não vejo por que você precisaria de DP, pois me parece que, ao programar uma única cadeia linear, você não tem muita escolha devido às restrições de precedência: apenas uma única opção. Talvez eu tenha entendido mal o seu problema.

— Gopi
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Meu problema parece diferente do seu. A minha é: "uma árvore enraizada, com custo unitário de ponta, cada vértice com uma tarefa com seu prazo final, tarefa que não precisa de tempo para recuar. A partir da raiz, quantas tarefas podem ser concluídas?". Portanto, não há precedência, não há tempo necessário para processar uma tarefa. Muito obrigado.

— Peng Zhang

@PengZhang, se for uma árvore enraizada, há precedência? Quanto ao custo nas bordas (precedência?) Ou nas tarefas, parece-me a mesma coisa. Realmente não vejo a diferença entre os dois. Finalmente, quantas tarefas podem ser concluídas, se você minimizar o número de tarefas que terminam após o prazo final, isso equivale a maximizar o número de tarefas que podem ser concluídas. Talvez você possa desenhar o que está esperando?

— Gopi

Não vejo a clara relação entre dois problemas. No problema original, o custo de visitar um próximo nó depende de qual nó foi visitado na etapa anterior. No planejamento com restrição de precedência, o custo de um próximo trabalho a ser processado não depende de qual trabalho foi processado na etapa anterior, desde que a restrição de precedência seja atendida.

— Yoshio Okamoto

@ Gopi: o custo das bordas não pode ser "transferido" para os nós, tanto quanto eu penso. Se a árvore estiver restrita a um caminho (talvez a cadeia que você referiu), no meu problema, podemos programar dinamicamente da seguinte maneira. Deixe os vértices numerados como da esquerda para a direita. Deixe denotar as tarefas máximas do intervalo de posição no tempo e o veículo está em . Seja o mesmo que exceto que o veículo está em . Então temos que pode ser derivado de . Porque

1, 2, \dots, n

$1,2,\cdots, n$

f (t, l, r)

$f(t,l,r)$

[l, r]

$[l,r]$

t

$t$

l

$l$

g (t, l, r)

$g(t,l,r)$

f (t, l, r)

$f(t,l,r)$

r

$r$

f (t, l, r)

$f(t,l,r)$

{f (\cdot, l + 1, r), g (\cdot, l, r - 1)

$\{f(\cdot,l+1,r), g(\cdot,l,r-1)$

t, l, r

$t,l,r$ são polinomiais, então o dp é polinomial.

— Peng Zhang

@PengZhang, ok, acho que entendo melhor o que você quer dizer. Eu ainda acredito que se pode adaptar facilmente o papel que dei, considerando árvores especiais onde os galhos são caminhos (por isso, caminhos enraizados).

— Gopi

Para que isso seja verdade, temos que fazer algumas suposições. Veja os comentários abaixo

Para o caso em árvore, acredito que exista um algoritmo de programação dinâmica recursiva em tempo polinomial parametrizado pelo tempo máximo de prazo. Os subproblemas são: se uma subárvore no tempo e da subárvore no tempo , qual é o número máximo de tarefas que podemos concluir na subárvore? Os casos básicos nas folhas são fáceis e memorizamos de baixo para cima. $t_a$ $t_b$

Se realmente parametrizamos pelo prazo máximo de prazo, o algoritmo não seria realmente polinomial no tamanho da árvore. No entanto, o comprimento do caminho mais longo que visita todos os nós da árvore é apenas polinomial em, e nunca precisamos verificar os prazos até depois disso. $|V|$

— Joe
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Você pode me mostrar a recorrência? Eu tentei o mesmo que o seu antes, deixe denotar o subproblema de visitar a subárvore enraizada no vértice . Mas existem dois problemas. 1. Como você pode criar sua solução a partir dos subproblemas? Tanto quanto penso, enumerar a ordem dos filhos é inevitável. 2. Você pode entrar e sair de um nó várias vezes. Portanto, durante o intervalo de tempo , você pode visitar outros vértices que não estão na subárvore com raiz em . Muito obrigado. :-)

f [a, t, t^{'}]

$f[a, t, t']$

a

$a$

[t, t^{'}]

$[t,t']$

a

$a$

— Peng Zhang

o ponto (1) não é tão problemático quanto o ponto (2). Para que minha ideia funcione como eu a imaginava, é necessário que você não saia e entre novamente em uma subárvore várias vezes. Não é óbvio que a melhor solução não pula por toda a árvore: pega uma folha e algo perto da raiz e caminha até uma folha e depois para outra folha longe dos outros 2, etc. Você pode para explorar o fato de que você obterá todos os nós em qualquer caminho que você percorrer. Em particular, se alguma criança foi visitada, o pai já foi visitado.

— 8282 Joe

: No meu pensamento, o ponto (1) é realmente um problema . Para o ponto (2), chamei a restrição de "não reinserir" como restrição de "Primeira pesquisa de profundidade". A restrição DFS é comumente adotada nas literaturas. E sob essa restrição, meu problema é de fato polinomial, desde que o grau máximo da árvore seja constante . Então, eu me pergunto, minha pergunta é NP-difícil. Muito obrigado.

— Peng Zhang

Em relação à restrição DFS, é fácil construir um exemplo em que a sequência ideal viola essa restrição. Considere uma árvore binária completa e equilibrada com 7 nós. Deixe as 2 folhas na subárvore esquerda com prazos 2 e 12, as 2 folhas na subárvore direita com prazos 8 e 6 e os nós internos com prazos 100. Você pode visitar todos os nós visitando as folhas na ordem 2,6,8 12; qualquer outro pedido viola pelo menos um prazo.

— Mhum

O problema de obter uma aproximação constante para este caso ou provar que o NP-Hard ainda está aberto e qualquer resultado seria uma boa publicação. Alguns casos especiais foram resolvidos. Eu, juntamente com outros, tenho alguns resultados parciais que resolvem casos especiais como aranhas, árvores de altura constante. Mas, o problema geral das árvores não está resolvido.

— vgta
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