Problemas em aberto nas fronteiras do TCS

No segmento Principais problemas não resolvidos em ciência da computação teórica? , Iddo Tzameret fez o seguinte excelente comentário:

Acho que devemos distinguir entre grandes problemas abertos que são vistos como problemas fundamentais, como , e grandes problemas abertos que constituirão um avanço técnico, se resolvidos, mas que não sejam necessariamente tão fundamentais, por exemplo, limites exponenciais inferiores em circuitos (isto é, AC ^ 0 + \ mod 6 portas). Portanto, devemos abrir um novo wiki da comunidade intitulado "problemas abertos nas fronteiras do TCS" ou algo semelhante.$P\neq NP$$AC^0(6)$$AC^0+\mod 6$

Como o Iddo não iniciou o tópico, pensei em iniciar esse tópico.

Muitas vezes, os principais problemas em aberto dos campos são conhecidos por pesquisadores que trabalham em campos relacionados, mas o ponto em que a pesquisa atual está paralisada é desconhecido para quem está de fora. O exemplo citado é bom. Como alguém de fora, é claro que um dos maiores problemas na complexidade de circuitos é mostrar que o NP requer circuitos de tamanho super polinomial. Mas pessoas de fora podem não estar cientes de que o ponto atual em que estamos presos está tentando provar limites exponenciais inferiores para circuitos CA ⁰ com portas mod 6. (É claro que poderia haver outros problemas de complexidade do circuito de dificuldade semelhante que descreveriam onde estamos presos. Isso não é exclusivo.) Outro exemplo é mostrar os limites inferiores do SAT no espaço de tempo melhor que o n ^1.801 .

Este tópico é para exemplos como este. Como é difícil caracterizar esses problemas, darei apenas alguns exemplos de propriedades que esses problemas possuem:

1. Muitas vezes não serão os grandes problemas em aberto do campo, mas serão um grande avanço se forem resolvidos.
2. Geralmente não é incrivelmente difícil, no sentido de que se alguém lhe dissesse que o problema foi resolvido ontem, não seria muito difícil de acreditar.
3. Esses problemas também costumam ter números ou constantes que não são fundamentais, mas surgem porque é aqui que estamos presos.
4. O problema nas fronteiras de um campo específico continuará mudando de tempos em tempos, em oposição ao maior problema do campo, que permanecerá o mesmo por muitos e muitos anos.
5. Geralmente, esses problemas são os problemas mais fáceis que ainda estão abertos. Por exemplo, também não temos limites exponenciais inferiores para AC ¹ , mas como [6] está incluído nessa classe, é formalmente mais fácil mostrar limites inferiores para [6] e, portanto, está em a fronteira atual da complexidade do circuito. A C $AC^0$$AC^0$

Por favor, poste um exemplo por resposta; aplicam-se convenções padrão de lista grande e CW. Se alguém puder explicar que tipos de problemas estamos procurando melhor do que eu, fique à vontade para editar esta postagem e fazer as alterações apropriadas.

EDIT: Kaveh sugeriu que as respostas também incluam uma explicação de por que um determinado problema está na fronteira. Por exemplo, por que estamos procurando limites mais baixos contra AC ⁰ [6] e não AC ⁰ [3]? A resposta é que temos limites mais baixos contra AC ⁰ [3]. Mas então a pergunta óbvia é por que esses métodos falham no AC ⁰ [6]. Seria bom se as respostas pudessem explicar isso também.

Aqui estão três pesquisas de caminhos mais curtos:

O ( n + m log w ) 2 $1$ . Existe um algoritmo de tempo linear para os caminhos mais curtos de fonte única em gráficos direcionados com pesos não negativos, pelo menos no modelo de computação word-RAM? Observe que existe um algoritmo de tempo linear para gráficos não direcionados (consulte o artigo de Thorup). Com base nisso, o Hagerup possui um tempo de execução de para gráficos direcionados com pesos limitados por . Existe um algoritmo mais rápido?$O(n+m\log w)$$2^w$

O ( n ω n ) ω < 2,376 O ( n 2,575 ) O ( n ω n $2$ . Existe um algoritmo polylog para todos os pares de caminhos mais curtos em gráficos direcionados não ponderados? ( é o expoente da multiplicação de matrizes) O melhor tempo de execução atual é por Zwick, e para gráficos não direcionados, o problema pode ser resolvido em polylog .$O(n^\omega$$n)$$\omega<2.376$$O(n^{2.575})$$O(n^\omega$$n)$

(Os problemas direcionados são realmente mais difíceis?)

O ( n 2,9 ) n 0 , … , $3$ . Existe um algoritmo para todos os pares de caminhos mais curtos nos gráficos node com pesos em { }? Ou, há uma redução do problema geral de caminhos mais curtos de todos os pares para essa restrição?$O(n^{2.9})$$n$$0,\ldots,n$

Isso já é mencionado na pergunta:

Abrir:

Separe de ( circuitos de profundidade 2). A C 0 2 [ 6 ] A C 0 [ 6 $EXP^{NP}$$AC^0_2[6]$$AC^0[6]$(veja a atualização abaixo)

[Novembro 11, 2010] separado de . Separe de .A C 0 2 [ 6 ] E X P N P T C $EXP$$AC^0_2[6]$$EXP^{NP}$$TC^0$

Conhecido:

1. [Alexander Razborov 1987 - Roman Smolensky 1987] não está em se é um primo e não é uma potência de . A C 0 [ p k ] p m $MOD_m$$AC^0[p^k]$$p$$m$$p$

2. [Arkadev Chattopadhyay e Avi Wigderson 2009] Sejam m, q números inteiros co-primos, de modo que m seja livre de quadrados e possua no máximo dois fatores primos. Seja C qualquer circuito do tipo que é uma porta ou e as portas na base possuem conjuntos de aceitação arbitrários. Se C , o ventilador mais alto e, portanto, o tamanho do circuito, deverá ser . G A N D O R M O D m M O D q 2 Ω ( n $MAJoGoMOD^A_m$$G$$AND$$OR$$MOD_m$$MOD_q$$2^{{\Omega(n)}}$

O resultado posterior é baseado na obtenção de um limite de correlação exponencialmente pequeno da função com subcircuitos de profundidade 2 e na estimativa de somas exponenciais envolvendo polinômios de baixo grau.$MOD_q$

Obstáculos: ?

Atualização [novembro 10, 2010]

Um artigo de Ryan Williams parece ter resolvido esse problema em aberto usando métodos que parecem ser essencialmente diferentes dos mencionados acima:

[Ryan Williams 2010] não possui circuitos não uniformes de tamanho . A C C 0 2 n O ( 1 $E^{NP}$$ACC^0$$2^{n^{o(1)}}$

Referências:

• AA Razborov. Limites inferiores no tamanho das redes de profundidade limitada em uma base completa com adição lógica (russo), em Matematicheskie Zametki, 41 (4): 598–607, 1987. Tradução em inglês em Notas matemáticas da Academia de Ciências da URSS, 41 (4): 333-338, 1987.

• R. Smolensky. Métodos algébricos na teoria dos limites inferiores para a complexidade do circuito booleano. Em STOC, páginas 77–82. ACM, 1987.

• Arkadev Chattopadhyay e Avi Wigderson. Sistemas lineares sobre módulos compostos , FOCS 2009

• Ryan Williams. Limites inferiores dos circuitos ACC não uniformes , 2010, rascunho (enviado?).

Deixe o CNF-SAT ser o problema de determinar se uma determinada fórmula do CNF é satisfatória (sem restrições na largura das cláusulas).

O CNF-SAT em variáveis ​​e cláusulas passível de solução em tempo, para alguns ?m 2 δ n p o l y ( m ) δ < $n$$m$$2^{\delta n} poly(m)$$\delta < 1$

Este é um problema em aberto bem conhecido na área de "algoritmos mais rápidos para NP". Não acho que tenha alcançado o status de "grande problema aberto", mas atraiu bastante atenção. Os algoritmos mais conhecidos são executados em tempo (por exemplo, aqui ).$2^{n-\Omega(n/\log (m/n))}$

Em relação à hipótese do tempo exponencial (que o 3SAT não está no tempo subexponencial), há também uma "hipótese do tempo exponencial forte" de que o tempo de execução ideal para -SAT converge para como . Uma consequência do Strong-ETH seria que a resposta para a pergunta acima é não. Várias hipóteses plausíveis implicam que a resposta é sim , mas quem sabe.2 n k → $k$$2^{n}$$k \rightarrow \infty$

Eu acho que é um daqueles problemas que provavelmente serão "resolvidos" de qualquer maneira: mostraremos uma resposta sim ou mostraremos que uma resposta sim implica em algo muito importante. No primeiro caso, teremos a satisfação de resolver o problema; no segundo caso, elevaremos a pergunta à questão de um "grande problema aberto" ... uma resposta sem resposta implica e uma resposta sim implica em algo muito importante. :)$P \neq NP$

A questão de saber se as árvores de decisão podem ser aprendidas pelo PAC parece estar na fronteira da teoria da aprendizagem computacional.

ABRIR

O PAC das árvores de decisão (TD) pode ser aprendido sob a distribuição uniforme em exemplos (ou em geral)?

CONHECIDO

• DTs não são aprendíveis sob a distribuição uniforme com Statistical Queries (SQs) [ Blum et al. '94 ]
• DTs aleatórios são aprendíveis sob a distribuição uniforme [ Jackson, Servedio '05 ]
• DTs monótonos são aprendíveis sob a distribuição uniforme [ O'Donnell, Servedio '06 ]
• uma análise simplificada para aprender TDs sob a distribuição uniforme [ Kalai, Teng '08 ]

A razão pela qual este é um problema interessante e importante é porque as árvores de decisão são uma classe muito natural e, diferentemente, digamos autômatos, não temos resultados de dureza criptográfica que tornam o problema sem esperança. O progresso nessa questão talvez possa dar uma ideia de se as TDs (e classes similares) são aprendidas sem suposições distributivas. Isso poderia ter um impacto prático, além de ser um avanço teórico.

Este problema também parece ter sido resolvido por todos os lados. Sabemos que, sob a distribuição uniforme dos exemplos: as árvores de decisão monótonas são aprendidas, as árvores de decisão aleatórias são aprendidas e que existe uma análise suavizada. Também sabemos que um algoritmo SQ não resolverá esse problema. E também há um progresso constante nessa área. Por outro lado, esse é um problema difícil que já está aberto há algum tempo, portanto isso parece se encaixar na lista de "Problemas em aberto nas fronteiras do TCS".

Observe que há outros resultados nos quais não entrei na dureza das DTs apropriadas de aprendizado , na capacidade de aprender DTs com consultas e na dureza de aprender DTs aleatórias com SQs.

ABRIR:

Mostre um limite inferior no modelo da sonda de célula para um problema explícito de estrutura de dados estática, que comprove que, sob alguma restrição de espaço "razoável" (por exemplo, que o espaço seja polinomial no tamanho da entrada), o tempo da consulta deve ser de menos T, onde T é maior que log | Q |, onde Q é o conjunto de consultas. Isso é chamado de "log | Q | -barrier" (ou às vezes, de uma maneira um tanto equivocada, "barreira de logn").

CONHECIDO:

1. limites mais baixos que log | Q | para um problema implícito (consulte a pesquisa de Miltersen )

2. limites mais baixos que log | Q | com restrições extremas de espaço (por exemplo, limites inferiores sucintos)

3. limites mais baixos que log | Q | para problemas dinâmicos (onde eu quero dizer que, se o tempo de atualização for muito pequeno, o tempo de consulta deverá ser muito grande ou vice-versa; veja, por exemplo, o limite inferior de Patrascu para soma parcial)

4. Limites inferiores em modelos restritos, como máquinas ponteiras, modelo de comparação, etc.

5. limites inferiores que quebram o log | Q | essa barreira não pode ser provada pelo tipo padrão de redução da complexidade da comunicação, porque Alice pode apenas enviar a consulta em si, o que requer apenas log | Q | bits e, portanto, é fácil verificar se a redução nunca fornecerá um limite inferior melhor do que isso. Portanto, é necessário usar um "nativo" vinculado ao modelo de sonda de célula ou uma redução mais inteligente da complexidade da comunicação.

Nas classes de complexidade de baixo nível, há um problema interessante sobre a caracterização de .$\mathsf{NL}$

ABRIR:

Mostre que se é igual a .U $\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$

N $\mathsf{UL}$ , o espaço de registro inequívoco , é a classe consiste em problemas que podem ser resolvidos por uma com restrições adicionais de que há no máximo um caminho de computação aceitável.$\mathsf{NL}$

CONHECIDO:

• Sob circunstâncias não uniformes , . [RA00]$\mathsf{NL/poly} = \mathsf{UL/poly}$
• Sob suposições de dureza plausíveis ( requer circuitos de tamanho exponencial), o resultado de [RA00] pode ser derandomizado para mostrar que . [ARZ99]N L = U $\mathsf{SPACE}(n)$$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$
• A acessibilidade nos gráficos de 3 páginas está completa para . [PTV10]$\mathsf{NL}$
• A acessibilidade nos gráficos de 2 páginas é passível de solução para . [BTV09]$\mathsf{UL}$
• Se , . [AJ93]$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$$\mathsf{FNL} \subseteq \mathsf{\sharp L}$

DESCONHECIDO:

• Uma classe intermediária , que é definida como problemas solucionáveis ​​por uma com no máximo um caminho de computação que aceita muitos polinômios, fica entre e . Não são conhecidos colapsos.$\mathsf{FewL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$
• É sabido que pelo famoso teorema de Immerman-Szelepcsényi, enquanto se está fechado sob complemento ainda está aberto.U $\mathsf{NL} = \mathsf{coNL}$$\mathsf{UL}$

Alguns problemas abertos do PCP:

• A conjectura da escala deslizante. No PCP, queremos que o erro do verificador seja o menor possível. O BGLR conjeturou que o erro pode ir até onde é a aleatoriedade (existe claramente um limite inferior de ). O preço pago por diminuir o erro está apenas aumentando o alfabeto adequadamente.$2^{-\Theta(r)}$$r$$2^{-r}$

Mais formalmente: a conjectura é que existe uma CA, de modo que, para todo r natural, para todo , existe um verificador PCP que usa a aleatoriedade r para fazer duas consultas à sua prova. erro de integridade e solidez . O alfabeto da prova depende apenas de .$\varepsilon \geq 2^{-cr}$$\varepsilon$$1/\varepsilon$

Para duas consultas, o erro mais conhecido é para alguns (M-Raz, 2008). Também é possível obter o erro para qualquer , com várias consultas que dependem de (DFKRS).$1/r^{\beta}$$\beta>0$$2^{-r^{\alpha}}$$\alpha <1$$\alpha$

Limites inferiores em c (isto é, algoritmos de aproximação) também são procurados.

Veja a pesquisa de Irit Dinur para mais detalhes.

• PCP de comprimento linear. Existem códigos de correção de erros de alta distância com comprimento linear. Existe um PCP com comprimento linear?

Especificamente, queremos um verificador de satisfação de uma fórmula SAT que tenha número constante de consultas, alfabeto constante e erro constante e acesse uma prova de comprimento linear no comprimento da fórmula? Isso está aberto mesmo para erros próximos a 1 (mas melhores que o trivial ), alfabeto subexponencial e número sub-linear de consultas.$1-1/n$

O comprimento mais conhecido é para erro constante e para erro sub constante.n ⋅ 2 ( l o g n ) 1 - $n polylog n$$n \cdot 2^{(log n)^{1-\beta}}$

Prove que para cada , existe um idioma em que não possui circuitos (não uniformes) com fios . Lembre-se de que . Ou seja, prove os limites inferiores do circuito superlinear por tempo exponencial com acesso a um oráculo .$c > 0$$E^{NP}$$c n$$E = \bigcup_{k \geq 1} TIME[2^{k n}]$$NP$

Um código -locally descodificável (LDC) é um mapa tal que existe um algoritmo , chamado o descodificador local , que, dado como entrada, um inteiro e uma palavra recebida que difere de para alguns no máximo fração de posições, procura no máximo coordenadas de e produz com probabilidade de pelo menos . Diz-se que o LDC é linear se$(q,\delta,\epsilon)$$C: \mathbb{F}^m \to \mathbb{F}^n$$A$$i \in [m]$$y \in \mathbb{F}^n$$C(x)$$x \in \mathbb{F}^m$$\delta$$q$$y$$x_i$$1/|\mathbb{F}| + \epsilon$$\mathbb{F}$é um campo e é -linear. Os LDCs têm muitas aplicações em teoria da complexidade e privacidade, entre outras.$C$$\mathbb{F}$

Para e constante , a situação é completamente resolvida. O código Hadamard é um LDC linear de consultas com , e isso é conhecido por ser ideal, mesmo para LDCs não lineares. Mas aqui, é a fronteira! Assim que fazemos , existe uma enorme lacuna entre os limites superior e inferior conhecidos. O melhor limite superior atual é um LDC linear de consultas sobre qualquer campo finito (e até reais e complexos) com complexidade de consulta [ Efremenko '09 , Dvir-Gopalan-Yekhanin '10 ]. Os melhores limites inferiores são$q=2$$\delta,\epsilon$$2$$n = \exp(m)$$q=2$$q=3$$3$ Ω(m2)3Ω(m2/logm)$n=\exp(\exp(\sqrt{\log m \log \log m})) = 2^{m^{o(1)}}$$\Omega(m^2)$ para LDCs lineares com perguntas sobre qualquer campo e para LDCs gerais com perguntas [ Woodruff '10 ]. A situação para um número maior de consultas é ainda mais terrível.$3$$\Omega(m^2/\log m)$$3$

Qual é a maior lacuna possível entre as complexidades de consulta quântica determinística e (erro bilateral de dois lados) para funções totais?

Abrir:

Será que não existe uma função total de cujo quantum consulta complexidade é T, e a complexidade de consulta determinista é ω (T ² )?

Existe uma função total cuja complexidade quântica de consultas é T e a complexidade determinística de consultas é ω (T ⁴ )?

Se uma função total pode ser calculada com consultas T por um algoritmo quântico, ela sempre pode ser calculada com consultas por um algoritmo determinístico?$o(T^6)$

Conhecido:

Se a complexidade da consulta quântica de uma função total for T, sua complexidade determinística da consulta é . (Referência)$O(T^6)$

O maior intervalo conhecido é alcançado pela função OR, que atinge um intervalo quadrático.

Atualização (21 de junho de 2015) : Agora conhecemos uma função que obtém uma separação quártica (quarta potência). Veja http://arxiv.org/abs/1506.04719 .

Supõe-se que a função OR atinja o intervalo máximo possível.

De acordo com a sugestão de Ashley, deixe-me adicionar o mesmo problema para o cálculo exato.

Abrir:

Existe uma função total cuja exata complexidade quântica de consultas é T e cuja complexidade determinística é ?$\omega(T)$

Conhecido:

Se a complexidade exata da consulta quântica de uma função total for T, sua complexidade determinística da consulta será . (Referência)$O(T^3)$

A diferença mais conhecida é um fator de 2.

Atualização (5 de novembro de 2012) : Isso foi aprimorado na vantagem superlinear para algoritmos quânticos exatos por Andris Ambainis . Do resumo: "Apresentamos o primeiro exemplo de uma função booleana f (x_1, ..., x_N) para a qual algoritmos quânticos exatos têm vantagem superlinear sobre os algoritmos determinísticos. Qualquer algoritmo determinístico que calcula nossa função deve usar N consultas, mas um o algoritmo quântico exato pode computá-lo com consultas O (N ^ {0.8675 ...}). "

Existem vários problemas em aberto na complexidade das provas, mencionarei apenas um que permanece em aberto, mesmo depois que alguns especialistas passaram anos tentando resolvê-lo. É a versão da complexidade da prova do estado na complexidade do circuito. (Consulte [Segerlind07] se desejar ver mais problemas em aberto na complexidade da prova.)

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Prove limites inferiores do tamanho da prova superpolinomial para o sistema de prova -Frege.$AC^0[2]$

$AC^0[2]$ -Frege (também conhecido como d-Frege + ) é o sistema de prova de proposição que permite apenas circuitos ( com portas).$CG_2$$AC^0[2]$$AC^0$$\bmod 2$

Conhecido

1. Há um tamanho de prova exponencial inferior para -Frege (também conhecido como profundidade constante Frege, d-Frege) para (formulação proposicional do Princípio do Buraco de Pombo com pombos furos). Também existem limites inferiores exponenciais para -Frege + (profundidade constante Frege com contagem de axiomas ). Também é sabido que -Frege + não são polinomialmente limitados. P H P n + 1 n n $AC^0$$PHP^{n+1}_{n}$$n+1$$n$$AC^0$$CA_p$$\bmod p$$AC^0$$CA_m$

2. Existem limites inferiores do tamanho do circuito exponencial para a classe de circuito correspondente, ou seja, .$AC^0[2]$

Referências:

• Nathan Segerlind, "A complexidade das provas proposicionais", Boletim de Lógica Simbólica 13 (4), 2007

Abrir:

Mostre uma separação do oráculo entre QIP (2) e AM. Ou seja, mostrar um problema na QIP (2) ^A que não está em AM ^A .

O grande problema em aberto é mostrar uma separação do oráculo entre BQP e PH. Mas nem sequer temos uma separação entre BQP e AM (como AM está no PH, isso deve ser mais fácil). Pior ainda, torne o BQP consideravelmente mais poderoso, permitindo interações de 1 rodada com o Merlin, fornecendo a classe QAM ou QIP (2) (dependendo de moedas públicas ou privadas) e ainda não temos uma separação.

Conhecido:

A separação mais conhecida é entre BQP e MA, que vem deste artigo de John Watrous . Para classes de complexidade que não são classes de problemas de decisão, consulte estes resultados por Scott Aaronson .

Não tenho certeza se isso pertence à classe de problemas abertos de fronteira ou grandes problemas abertos; portanto, os comentários são bem-vindos.

Abrir:

Mostre que se implica recolhe ou não.P $\mathsf{NP} = \mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$\mathsf{UP}$ (o tempo polinomial inequívoco ) é uma classe definida como problemas de decisão decididos por uma máquina NP com uma restrição adicional que

• existe no máximo um caminho de computação aceito em qualquer entrada.

Esse problema foi afirmado no blog de complexidade em 2003.

Conhecido:

Um resultado de Hemaspaandra, Naik, Ogiwara e Selman mostra que, se a declaração a seguir for válida, a hierarquia polinomial entrará em colapso para o segundo nível.

• Há um língua de tal modo que para cada fórmula em sab, existe uma única satisfatória atribuição com em . L ϕ x ( ϕ , x ) $\mathsf{NP}$$L$$\phi$$x$$(\phi,x)$$L$

Desconhecido:

Qualquer colapso ou separação improvável.

Post relacionado: Mais sobre as classes sintáticas vs semânticas e UP vs NP .