Propriedades de fechamento não CFL

Um aluno me perguntou o seguinte e não conseguiu encontrar uma resposta completa:

Existem propriedades de fechamento para a classe de idiomas que não são livres de contexto?

É bastante fácil encontrar exemplos que mostram que ele não está fechado sob interseção e iteração (operador estrela Kleene), mas e a união e concatenação? Meu palpite é que também não está fechado, então, a menos que eu esteja longe, o que estou procurando são exemplos para duas não-CFLs que sua união ou concatenação é uma CFL.

fl.formal-languages context-free-languages

— Shir
fonte

A união possui contraexemplos triviais porque existem idiomas indecidíveis. Qualquer idioma com seu complemento funciona.

— 23612 Raphael

Meus alunos ainda não estão familiarizados com o conceito de indecidibilidade.

— Shir

Você não precisa de um indecidível, apenas precisa que nem o idioma nem seu complemento sejam CFL.

— Emil Jerabek

A concatenação também possui contraexemplos triviais: pegue duas linguagens L1 e L2 não livres de contexto cuja união seja Σ * e adicione a cadeia vazia a L1 e L2.

— Tsuyoshi Ito

Intersecção é fácil de tomar dois idiomas disjuntos de

, por exemplo,

. A união é igualmente fácil, use dois idiomas cuja união é

\bar{C F L}

$\bar{CFL}$

{0 w : w \in L_{1}}

$\{0w : w \in L_1\}$

{1 w : w \in L_{1}}

$\{1w : w \in L_1\}$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

{0 w : w \in L_{1}} \cup {1 w : w \in Σ^{*}}

$\{0w : w \in L_1\} \cup \{1w : w \in \Sigma^*\}$

{1 w : w \in L_{1}} \cup {0 w : w \in Σ^{*}}

$\{1w : w \in L_1\} \cup \{0w : w \in \Sigma^*\}$

— 23412 Kaveh

Provavelmente, existem poucas ou nenhuma propriedade de fechamento "interessante" e "natural" para a classe de idiomas que não são livres de contexto. De fato, isso provavelmente se aplica a:

qualquer classe de linguagens definida por um autômato, gramática ou modelo computacional específico - as linguagens regulares, as CFLs, várias subclasses das CFLs, como as linguagens lineares e as CFLs determinísticas, as linguagens sensíveis ao contexto, as linguagens delimitadas e em breve.
classes realmente definidas por propriedades de fechamento, como a menor família que contém, digamos, { } e fechada sob as operações e transduções regulares. De fato, a teoria da AFL era sobre coisas assim. $a^n b^n$

A razão é que muitas, senão a maioria ou todas as propriedades de fechamento "interessantes" têm a capacidade de simplificar drasticamente uma linguagem, por exemplo, mapeá-la para conjuntos finitos ou algo igualmente simples. Por exemplo, você sempre pode aplicar um homomorfismo constante (h (a) = 0) a uma linguagem sem contexto e obter a linguagem de todas as seqüências de zeros, que é livre de contexto (na verdade, regular). Portanto, se a própria definição de classe implica que ela não é muito "simples" (como não isenta de contexto), o encerramento leva você a linguagens "simples", ou seja, fora da classe.

Isso pode realmente criar um projeto de pesquisa interessante, parte do qual, eu arriscaria um palpite, seria definir "simples", "interessante" e "natural" de alguma maneira adequada, e também encontrar formas formais de lidar com questões triviais e triviais. casos degenerados como o que eu dei.

$\Sigma^*$

$a^*$

$\{a^{n-i}:i = \lfloor \sqrt n \rfloor\}$

$\{a^{n+i}:i = \lfloor \sqrt n \rfloor\}$

$\sqrt x$

— David Lewis
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Eu gosto desta resposta.

— Suresh Venkat