Problema com XOR (0,1)

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esta é uma reescrita de outra questão recente [1] que não foi bem estabelecida (tinha uma simplificação semi-óbvia, mea culpa), mas acho que ainda há uma questão não trivial no centro. vi problemas semelhantes na literatura, mas não esse em particular.

escreverei em termos de vetores de bits, porque é mais fácil para mim.

que haja um conjunto de bits-vectores de tamanho , . considere a operação XOR bit a bit. dado um vetor de destino . encontre um subconjunto de vetores de forma que o XOR bit a bit do conjunto seja igual ao vetor de destino. o que é um algoritmo eficiente (ou idealmente, ideal) para encontrar um subconjunto? $n$ $v_1, v_2, v_3, ... , v_n$ $v_0$

o algoritmo de força bruta enumera o conjunto de potência de tamanho e lista o primeiro subconjunto encontrado. (ligeiramente?) mais eficiente analisaria as posições 1 no destino e excluiria subconjuntos que não possuem pelo menos 1 vetor com 1 na posição 1 do destino. $2^n$

o subconjunto pode ou não existir. pode ou não ser único.

questões estreitamente relacionadas: (1) encontre o menor subconjunto, (2) produza T / F dependendo da existência desse subconjunto.

suspeite que um desses problemas é NP completo.

procurando referências, insight etc., seria interessante saber se existem entradas "difíceis" vs "fáceis" etc.

como escrevi na outra pergunta, isso parece intimamente relacionado ao problema da soma do subconjunto (veja, por exemplo, garey & johnson ref), que é conhecido por ser NP completo, mas isso parece ter "um pouco" menos complexidade, porque é mais fácil calcular um vetor XOR bit a bit do que uma soma binária (a soma pode ter mais dígitos binários).

o problema também parece estar intimamente ligado à recente pergunta de bin fu [2]

[1] /cstheory/10341/building-0-1-vectors-out-of-xors

[2] Problema vetorial de algoritmos

— vzn
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2

Esse problema é exatamente a pergunta 'é o vetor

no intervalo dos vetores

módulo 2? '; se

são mod 2 linearmente independentes, então todos

são e o problema pode ser resolvido por uma inversão de matriz; e mesmo que o

não são independentes deve ser prontamente resolvidas através de eliminação de Gauss. O problema do 'menor subconjunto satisfatório' pode ser NP-completo - é essencialmente perguntar 'qual é o vetor diferente de menor peso no intervalo desses vetores módulo 2?' - mas ainda não estou consciente o suficiente para ter uma resposta precisa.

v_{0}

$v_0$

v_{1} . . v_{n}

$v_1..v_n$

v_{i}

$v_i$

v_{0}

$v_0$

v_{i}

$v_i$

— Steven Stadnicki

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Seja . O problema é determinar se o seguinte sistema possui uma solução: $v_0, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{Z}_2^m$

(\begin{matrix} v_{1} & \dots & v_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = v_{0 0} (mod 2)

$\begin{pmatrix} v_1 & \cdots & v_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = v_0 \, (\text{mod } 2)$

$\oplus L$ $\text{NC}^2 \subseteq \text{P}$

$\oplus L$

— Michael Blondin
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Como acompanhamento do meu comentário: encontrar o menor subconjunto satisfatório deve ser de fato NP-completo; a redução está no problema do código de peso mínimo (dada a base para um código acima de GF (2), qual é o vetor de peso mínimo no código?) e isso aparentemente foi comprovado como NP-completo em 1997 por A. Vardy: " A intratabilidade de calcular a distância mínima de um código ", http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=641542

— Steven Stadnicki
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Se bem me lembro, Vardy usa uma redução do problema da soma mínima dos subconjuntos sobre os campos finitos da característica 2, que é conhecido por ser NP-completo e é de fato equivalente ao que o OP pede.

— Mahdi Cheraghchi

1

Existe algum resultado de aproximação para esse problema?

— Bin Fu

@bin apenas corri em toda esta ref que considera aproximação variantes redução determinística para a Gap Distância Mínima Problema Cheng / Wan e cita outros refs que podem ser úteis

— vzn