Largura da árvore e o problema NL vs L

ST-Conectividade é o problema de determinar se existe um caminho entre dois vértices dirigidos distintos e em um grafo orientado G (V, E) . Se esse problema pode ser resolvido no espaço de logs, é um problema aberto de longa data. Isso é chamado de problema NL vs L.$s$$t$$G(V,E)$$NL$$L$

Qual é a complexidade da conectividade ST, quando o gráfico não direcionado subjacente de $G$ limita a largura de árvore.

É conhecido por ser NL-difícil? Existe um limite superior $o({\log}^2n)$ conhecido?

Parece que o problema está em L por [EJT10] e, portanto, é L completo sob a redutibilidade $\text{NC}^1$ em [CM87]. Veja a página 2 de [EJT10]:

A aplicação do Teorema I.3 à fórmula $\phi(X)$ que expressa que $X$ é um caminho simples de $s$ a $t$ mostra que o problema $\{(G,s,t) \text{ } | \text{ tw$(G) \leq k$, there is a path from $s$ to $t$ in $G$}\}$ está em L

Na verdade, esse resultado se aplica a todos os problemas em gráficos de largura de árvore limitada que podem ser formulados na lógica monádica de segunda ordem em L.

[EJT10] Michael Elberfeld, Andreas Jakoby e Till Tantau. Versões em espaço de log dos teoremas de Bodlaender e Courcelle. Em Anais do 51º Simpósio Anual de Fundamentos da Ciência da Computação (FOCS), páginas 143-152, 2010.

[CM87] Stephen A. Cook, Pierre McKenzie: problemas completos para o espaço logarítmico determinístico. J. Algorithms 8 (3): 385-394 (1987)