Se eu tiver um conjunto de restrições lineares em que cada restrição tenha no máximo (digamos) 4 variáveis (todas não-negativas e com coeficientes {0,1}, exceto uma variável que pode ter um coeficiente -1), o que se sabe sobre a solução espaço? Estou menos preocupado com uma solução eficiente (embora indique se é conhecida) do que com saber quão pequeno pode ser o mínimo da função objetivo, em função do número de variáveis e do número de restrições e do número de variáveis por limitação.
Mais concretamente, o programa é algo como
minimizar t
sujeito a
para todos i, x_i é um número inteiro positivo
x1 + x2 + x3 - t <0
x1 + x4 + x5 - t <0
...
x3 + x6 - t ≥ 0
x1 + x2 + x7 - t ≥ 0
...
Se for necessária uma pergunta concreta, será que a solução mínima obedece a t <= O (max {# de variáveis, # de restrições}), com a constante em O () dependendo da escassez? Mas, mesmo que a resposta seja negativa, estou mais interessado em saber que tipo de livro ou trabalho estudar para uma discussão sobre essas questões e se existe uma área de estudo dedicada a esse tipo de coisa, mas simplesmente não sei. os termos a serem pesquisados. Obrigado.
Atualização: Com uma reflexão mais aprofundada (e pensando na simples redução de 3SAT para ILP, que utiliza restrições com três variáveis), percebo que a questão dos coeficientes é crítica (se houver um algoritmo eficiente). Mais precisamente, todas as variáveis x_i têm 0 ou 1 coeficiente (com no máximo três coeficientes 1 em qualquer restrição), e todas as variáveis t têm coeficientes -1, e todas as comparações têm variáveis à esquerda e 0 à direita. Eu atualizei o exemplo acima para esclarecer.