Pergunta unidirecional de exemplo de autômato quântico

Estou tentando esclarecer meu entendimento no exemplo apresentado na Seção 2.2 dos autômatos finitos quânticos de 1 via: fortalece as fraquezas e as generalizações (esse link alternativo também pode ser útil). Este exemplo fornece um exemplo muito simplificado de um 1-QFA com as seguintes regras de transição:

,$V_a|q_0\rangle = \frac{1}{2}|q_0\rangle + \frac{1}{2}|q_1\rangle + \frac{1}{\sqrt 2}|q_{rej}\rangle$

,$V_a|q_1\rangle = \frac{1}{2}|q_0\rangle + \frac{1}{2}|q_1\rangle - \frac{1}{\sqrt 2}|q_{rej}\rangle$

,$V_{\$}|q_0\rangle = |q_{rej}\rangle$

$V_{\$}|q_1\rangle = |q_{acc}\rangle$

Por exemplo, se eu estou em e eu processar um um como entrada, eu aplico a primeira regra. Meu entendimento é que eu teria um | | $q_0$$a$ chance de permanecer no estado| q0⟩, um| | $||\frac{1}{2}||^2 = \frac{1}{4}$$|q_0\rangle$ chances de progredir para o estado| q1⟩e uma| | $||\frac{1}{2}||^2 = \frac{1}{4}$$|q_1\rangle$ chances de terminar o cálculo e rejeitar a string.$||\frac{1}{\sqrt 2}||^2 = \frac{1}{2}$

Imagino que os autômatos pareçam com a seguinte imagem

No entanto, não tenho certeza se isso está correto. As probabilidades mencionadas no artigo para aceitação da cadeia são $aa$ enquanto a probabilidade de rejeição é$\frac{1}{4}$ . Apenas imaginando se alguém poderia apontar uma falha ou validar o que eu tenho em mente conceitualmente para o exemplo.$\frac{3}{4}$

Obrigado.

Modelo de autômatos reformulado para refletir com mais precisão as probabilidades:

$V_a$$|q_{0}⟩$$|q_{1}⟩$$|q_{0}⟩\langle q_{0}|$$|q_{1}⟩\langle q_{1}|$. Em outras palavras, esses números não representam probabilidades, eles não correspondem aos resultados da medição a ser realizada. Portanto, rotular as setas do diagrama com esses números daria uma ilustração potencialmente enganosa de como o processo de medição está funcionando.

$a$$V_a$

• $P_{acc}=|q_{acc}⟩\langle q_{acc}|$
• $P_{rej}=|q_{rej}⟩\langle q_{rej}|$
• $P_{non}= |q_{0}⟩\langle q_{0}|+|q_{1}⟩\langle q_{1}|$

Em outras palavras, a medição tem três resultados possíveis: ( acc ) o autômato mede um estado de aceitação e pára; ( reje ) o autômato mede um estado de rejeição e pára; ( não ) o automatizado mede outra coisa, não para e lê o próximo símbolo (não estados para não parar).

$(|q_{0}⟩+|q_{1}⟩)/2$$P_{non}$$|q_{0}⟩$$|q_{1}⟩$

Levando tudo em consideração, é fácil seguir o cálculo fornecido em sua referência principal . Para ilustrar tudo o que foi dito e, para ser completo, citarei aqui alguns comentários menores (embora eu tenha acrescentado algumas modificações, não sei se esse tipo de citação é aceitável; se não for , por favor, deixe-me conhecer ou editar a resposta você mesmo):

$|q_0\rangle$

1. $V_a$$\frac{1}{2} |q_0\rangle+\frac{1}{2} |q_1\rangle+ \frac{1}{\sqrt{2}} |q_{rej}\rangle$$(1/\sqrt{2})^2=1/2$$|q_{rej}\rangle$$1/2$$\frac{1}{2} |q_0\rangle+\frac{1}{2} |q_1\rangle$

2. $\frac{1}{2} |q_0\rangle+\frac{1}{2} |q_1\rangle$$V_a$

3. $V_{\$}$$\$$$\frac{1}{2} |q_{rej}\rangle+\frac{1}{2} |q_{acc}\rangle$$(1/2)^2=1/4$$q_{rej}$$1/4$$q_{acc}$

$1/4$$1/2+1/4=3/4$

Juan Bermejo Vega fez um resumo preciso do que é dito no artigo original. Vou lhe dar uma descrição de nível superior.

Eu recomendarei, no seu caso, evitar pensar nas amplitudes como probabilidades por completo. Eles estão relacionados às probabilidades, mas isso não é especialmente útil para pensar nesses autômatos finitos. Eu suspeito que as coisas ficarão muito mais claras se você pensar nisso como uma receita um pouco abstrata para transformar vetores de valor complexo.

Quais vetores estamos transformando? Bem: suponha que você tenha um autômato finito com n estados. O autômato representa um modelo (sim, probabilístico) para transformar vetores, que a qualquer momento pode dar origem a uma decisão de aceitação ou rejeição.

• $\mathcal H$$\mathcal H$
• $V_q : \mathcal H \to \mathcal H$$V_q^\dagger V_q = I$$V_c$$V_c = I$$V_\$$
• $V_c\,\mathbf{\hat e}_1$$V_c$$\mathbf{\hat e}_1$$q_0$
  
  
  1. $a$$V_a$
  2. $\mathbf v$$u_A$$u_R$$|u_A|^2$$|u_R|^2$
  3. $(1 - |u_A|^2 - |u_R|^2)^{-1/2}$
  4. Prossiga para a próxima letra.
     
• Realizamos essas transformações para cada letra da palavra e também para um símbolo final $, que anexamos ao final.

O único momento em que as probabilidades entram em jogo é com o eixo de aceitação e rejeição . Embora esse modelo de computação seja obviamente inspirado por autômatos finitos, é simples não útil interpretar qualquer um dos outros coeficientes do vetor, em qualquer ponto do tempo (mesmo no final!), Como probabilidades.

Observe que as probabilidades de aceitação e rejeição em cada intervalo de tempo são probabilidades condicionais , isto é  , dependem do cálculo ainda não ter sido interrompido; se você quiser calcular a probabilidade total de aceitação / rejeição, poderá fazê-lo com mais facilidade dispensando a etapa de "renormalização" na evolução (a parte em que multiplicamos pelo valor da raiz quadrada inversa; mas ainda definindo a aceitação / rejeito os coeficientes para zero se o cálculo continuar) e simplesmente some todas as contribuições probabilísticas para aceitar / rejeitar que surjam ao longo do caminho.

Você está assumindo incorretamente que o estado entra em colapso total (para um estado de base computacional) após a leitura de cada símbolo. A medição em cada estágio é apenas parcial.